ΤΑ “ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ” ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

 

ΤΑ   “ΑΛΥΤΑ   ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ”  ΤΩΝ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

    Τα “καλύτερα μυαλά” από την αυγή των ιστορικών χρόνων μέχρι και σήμερα τα είδαν σαν “πρόκληση”. Ο νους έφτασε μέχρι άκρα αξεπέραστα. Οριοθετήθηκαν οι πνευματικές  δυνατότητες του ανθρώπου. Οι επιστήμες ωθούνται σε συνεχή πρόοδο και προκύπτουν αποτελέσματα ωφελιμότατα για το ανθρώπινο γένος. Πρόκειται για τα λεγόμενα “άλυτα προβλήματα” της επιστήμης των Μαθηματικών. Επιχειρώ ένα πολύ σύντομο  ιστορικό του λαμπρού αυτού κεφαλαίου της ανθρώπινης διανόησης….

ΣΤΗΝ  ΕΛΛΗΝΙΚΗ  ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ

     Τρία υπήρξαν τα μεγάλα μαθηματικά προβλήματα της κλασσικής αρχαιότητας. Ήταν προβλήματα Γεωμετρίας, αυτή μόνον από τους κλάδους των μαθηματικών είχε αναπτυχθεί στα χρόνια εκείνα, και η επίλυση τους έπρεπε να επιτευχθεί - μόνο - με κανόνα (χάρακα, ο οποίος να μην φέρει σημάδια και δεκαδικές υποδιαιρέσεις μονάδας) και διαβήτη. Ακόμα, ο αριθμός των διακριτών βημάτων προκειμένου να επιτευχθεί η επίλυση, όφειλε να είναι πεπερασμένος και αυτός ο όρος διασφάλιζε ότι η λύση θα ήταν «ρητή».

1^ο) Το  Δήλιο  πρόβλημα

     Ο διπλασιασμός του κύβου, δηλαδή του όγκου του, όχι των διαστάσεων των πλευρών του (εννοείται). Το πρόβλημα αυτό “είχε ντυθεί” και με μυθολογική περιβολή……. Ο θεός Απόλλων με χρησμό είχε ζητήσει να αυξήσουν στο διπλάσιο τον όγκο του βάθρου του αγάλματός του που βρισκόταν στην γενέτειρα του Δήλο (εξ ου και η ονομασία του προβλήματος “Δήλιο”), προκειμένου να σταματήσει τον λιμό (επιδημία) που αποδεκάτιζε τον πληθυσμό του νησιού !

      Ο Πλάτων, ο Αθηναίος μέγας φιλόσοφος ……. μάλιστα πρώτος αυτός ήταν που υπέδειξε στους Μηλίους ότι ο θεός δεν εννοεί -το πολύ απλό- να διπλασιάσουν την ακμή του κυβικού βάθρου του, αφού τότε το βάθρο οκταπλασιάζει τον όγκο του, αλλά να φτιάξουν νέο βάθρο του αγάλματος που να έχει -ακριβώς- τον διπλάσιο όγκο του παλιού βάθρου….

           Ευτυχώς που “πείστηκε” ο θεός - Ήλιος και σταμάτησε το λιμό, μάλιστα αντάμειψε το νησί με μεγάλη ευημερία…… μέχρι την καταστροφή του στους Μιθριδατικούς πολέμους, τον 1ο π.Χ. αιώνα!..... Βέβαια, δεν έμαθε ποτέ ο Απόλλων, γιατί αργότερα όλοι οι Ολύμπιοι θεοί  “εκθρονίσθηκαν”, ότι το 1837 ο ταλαντούχος Γάλλος μαθηματικός  Pierre Laurent Wantzel (1814-1848), στα 23 του χρόνια (Ο Wantzel δυστυχώς είχε πρόωρο θάνατο), απέδειξε ότι:

       Οι σημαντικότεροι μαθηματικοί της αρχαιότητας καταπιάστηκαν με το “Δήλιο πρόβλημα”, όπως:  Ιπποκράτης ο Χίος (470–410), Μέναιχμος από την Προκόννησο της Προποντίδας (380–320), Αρχύτας ο Ταραντίνος (428–347), Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (276-194), Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (287-212), Απολλώνιος ο Περγαίος (262–190), Νικομήδης ο Αλεξανδρεύς (250-150), Ήρων ο Αλεξανδρεύς (10 μ.Χ.-75 μ.Χ.), Διοκλής ο Αλεξανδρεύς (240-180), Πάππος ο Αλεξανδρεύς (290-350).

         Αυτοί όλοι “ισχυρίστηκαν ότι το έλυσαν” με πολλούς - διάφορους τρόπους ο καθ’ ένας τους, όμως, ως ο P.L. Wantzel (1837) απέδειξε “o διπλασιασμός του κύβου (και η τριχοτόμηση της γωνίας) θα μείνουν εσαεί άλυτα προβλήματα με τον κλασσικό κανόνα και διαβήτη”.   

  2^ο) Η Τριχοτόμηση της γωνίας

     Της οξείας γωνίας βέβαια. Η ορθή γωνία τριχοτομείται ευχερώς, η αμβλεία αποτελείται από μία ορθή συν μία οξεία. Η τριχοτόμηση της οξείας γωνίας, παρά τις προσπάθειες των: Ιππία του Ηλείου (443-399), Αρχιμήδη, Νικομήδη και Πάππου των Αλεξανδρινών, κ.ά. στάθηκε αδύνατη.

      Όντως, η εξίσωση που την εκφράζει:  x³- 3αx²- 3x + α = 0  (Εξίσωση της τριχοτόμησης) ……όπου: α η εφαπτομένη της υπό τριχοτόμηση γωνίας και x η εφαπτομένη του ζητουμένου 1/3 αυτής…….  είναι τρίτου βαθμού, χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Αυτό δίδει μη “ρητό” αποτέλεσμα x. “Άρρητοι δε αριθμοί”, με κανόνα και διαβήτη,  δεν αποτυπώνονται.  

         Άρρητος αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατόν να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα δύο ακεραίων (Οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός).

……… Σύμφωνα με την παράδοση, η αποκάλυψη της ύπαρξης  άρρητων αριθμών έγινε από τον Πυθαγόρειο  Ίππασο τον Μεταπόντιο (450 π.Χ.). Η ύπαρξη των άρρητων αριθμών ήταν “επτασφράγιστο” μυστικό των Πυθαγορείων. Ο Ίππασος δημοσιοποιώντας ότι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά ακέραιο αριθμό δεν είναι και αυτή ακέραιος, προκάλεσε κρίση όχι μόνο στα Μαθηματικά της εποχής, αλλά και στα πολιτικά πράγματα πόλεων στην “Μεγάλη Ελλάδα”, όπου οι Πυθαγόρειοι ασκούσαν και εξουσία, ενώ δίδασκαν την “τελειότητα” των αριθμών και ότι όλα τα προβλήματα του ορατού κι’ αόρατου κόσμου εκφράζονται με αριθμούς και μαθηματικές σχέσεις.  Μάλιστα ο ίδιος, ο “προδότης” Ιππασος, καταδιώχτηκε και είτε φονεύτηκε, είτε χάθηκε στην θάλασσα από την οργή των Θεών που εξοργίστηκαν μαζί του επειδή αποκάλυψε, άλλος Προμηθέας, μυστικά τους…..

3^ο) Ο τετραγωνισμός του κύκλου

     Ειδικά μ’ αυτό το πρόβλημα ασχολήθηκαν όλοι οι κορυφαίοι της αρχαιότητας επί πολλούς αιώνες, και του κόσμου ολόκληρου κατά τα νεότερα χρόνια (όπως ο Νεύτων, ο Όιλερ, ο Γκάους, ο Ραμανουτζάν κ.ά.). Μερόνυχτα μόχθησαν οι σοφοί άνδρες για την απόλυτη ακρίβεια. Η ανυπέρβλητη δυσκολία του προβλήματος έγκειται στο ότι ο περίφημος αριθμός “π”, αυτή η μαθηματική σταθερά που ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας προς την διάμετρο ενός κύκλου και ισούται με 3,14159265… (τα δεκαδικά ψηφία δεν τελειώνουν ποτέ), είναι αριθμός “άρρητος” / δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων,........ και ως εκ τούτου δεν αποτυπώνεται με κανόνα και διαβήτη, όπως ορίζουν οι αυστηρές Ελληνικές προδιαγραφές.

        Ειδικότερα, ο αριθμός “π”  είναι αριθμός “υπερβατικός”, σημαίνει ότι δεν μπορεί να αποτελεί λύση καμιάς πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

         Απ’ όλους τους μαθηματικούς που μόχθησαν για τη λύση, έως το 1882 που απεδείχθη το ανέφικτο αυτών των προσπαθειών, αξίζει να αποδοθεί ιδιαίτερη τιμή σε δύο Έλληνες, οι οποίοι επειδή αποδεδειγμένα “τετραγώνισαν” διάφορα καμπυλόγραμμα σχήματα, ομοειδή προς κύκλο, (Σημαίνει: κατασκεύασαν τετράγωνο ίσου εμβαδού με δοσμένο σχήμα) θεώρησαν ότι θα μπορούσαν,  πάντα με διαβήτη και χάρακα, να “τετραγωνίσουν” και τον ίδιο το κύκλο.  

     1) Στον Ιπποκράτη τον Χίο (470-410 π.Χ.), ο οποίος απέδειξε ότι “ο μηνίσκος {Μηνίσκος (= μικρή Σελήνη) λέγεται το καθ’ ένα από τα δύο μη κοινά μέρη που σχηματίζονται όταν τέμνονται δύο κύκλοι} που σχηματίζεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου έχει το ίδιο εμβαδόν με το τρίγωνο”!

        Το αυτό επίτευγμα του Ιπποκράτη του Χίου, θεωρήθηκε προάγγελος του τετραγωνισμού και όλου του κύκλου και χιλιάδες μαθηματικοί εργάστηκαν, όπως ξανά είπαμε, πάνω σ’ αυτό το πρόβλημα…. Γράφει ο Σιμπλίκιος (6^ος αι. μ.X.). “ Όπως ο μηνίσκος τετραγωνίζεται από την πλευρά του τετραγώνου, και καθώς ο μηνίσκος είναι ομογενής προς τον κύκλο αφού δημιουργείται από περιφέρειες, τι εμποδίζει να τετραγωνιστεί με ανάλογο τρόπο και ο ίδιος ο κύκλος;” (“Σχόλια στα Φυσικά του Αριστοτέλη”. 9.59.31.9)}

     2) Στον κορυφαίο των κορυφαίων Αρχιμήδη τον Συρακούσιο (287-212 π.Χ.), που στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις», υπολόγισε με γεωμετρικούς τρόπους (“Μέθοδος της εξάντλησης”), ότι:

        α) “Η  τιμή του “π” (λόγος της περιμέτρου του κύκλου προς την διάμετρο του) ευρίσκεται μεταξύ του  223 ⁄ 71 (= 3.1408…) και 22 ⁄ 7 (= 3.1429…)”.

        β)  “Κάθε κύκλος έχει εμβαδόν (Ε) ίσο με αυτό ορθογωνίου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι αντίστοιχα ίσες προς την ακτίνα (ρ) και την περίμετρο του κύκλου (2πρ). Δηλ.: Ε = ½ ρ (2πρ) =  πρ²”.

         γ) Ο τετραγωνισμός της Παραβολής: Το εμβαδόν ενός παραβολικού χωρίου είναι ίσο με τα 4/3 του εγγεγραμμένου σε αυτό τριγώνου.  

    

         δ) Το εμβαδόν μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σ’ έναν κύλινδρο ισούται με τα 2/3 του εμβαδού του κυλίνδρου. Δηλ. Ε = 2/3 (6πρ²) = 4πρ², αφού η συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου αυτού είναι: πρ² + πρ² + 2πρ (2ρ) = 2πρ² + 4πρ² = 6πρ².

         ε) Ο όγκος μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σ’ έναν κύλινδρο ισούται με τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου. Δηλ. V = 2/3 (2πρ³) =  4/3 πρ³,  αφού ο όγκος του κυλίνδρου αυτού είναι: V = πρ²(2ρ) = 2πρ³).   

ΣΤΑ ΝΕΩΤΕΡΑ ΧΡΟΝΙΑ :  17ος -  20ος αιώνες

     Τα άλυτα, λεγόμενα, μαθηματικά προβλήματα της νεότερης εποχής αφορούν πλέον προβλήματα της θεωρίας των αριθμών και των νέων κλάδων των μαθηματικών. Οπωσδήποτε και υπάρχουν πολλά μαθηματικά προβλήματα των οποίων η λύση “θεωρείται αδύνατη”. Από τις αρχές του περασμένου αιώνα και μέχρι τα τωρινά χρόνια, μόνοι μαθηματικοί, πανεπιστημιακοί καθηγητές, και οργανώσεις μαθηματικών, έχουν δημοσιεύσει πάρα πολλές λίστες “άλυτων” μαθηματικών προβλημάτων. Με λίγες εξαιρέσεις, αυτές οι συλλογές δεν είχαν μεγάλη διάδοση πέραν ενός μικρού σχετικά κύκλου, παρόλο που χιλιάδες επιστήμονες παθιασμένα μόχθησαν και μοχθούν και γενναιόδωροι χορηγοί ανακοινώνουν κατά καιρούς πολλές τιμητικές και χρηματικές βραβεύσεις…… Τα άλυτα προβλήματα αντιστέκονται!

Η θεματική διεύρυνση τους, ως και η  ένταξη τους εντός του  γενικότερου φιλοσοφικού στοχασμού αναπτύσσει δύο τάσεις: Την απαισιόδοξη και την αισιόδοξη, όσο αφορά τις προοπτικές της επίλυσης τους. 

     Το 1872 ο Γερμανός φυσιολόγος Emil du Bois-Reymond  στο βιβλίο του: “Περί των ορίων κατανόησης της φύσης”, υποστηρίζει ότι η επιστημονική γνώση είναι πεπερασμένη. Tην άποψη αυτή εξέφρασε με το λατινικό απόφθεγμα “Ignoramus et ignorabimus” (Αγνοούμε και θα αγνοούμε).

      Το 1880 δημιούργησε “ντόρο” με την περίφημη ομιλία του ενώπιον της Πρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Το προαναφερθέν περισπούδαστο βιβλίο του αναφέρεται σε επτά παγκόσμια “αινίγματα” (γρίφους) της φυσικής και της φιλοσοφίας, κατά βάση, από τα οποία υποστηρίζει τα τρία θα μείνουν, ως υπερβατικά, ανεξιχνίαστα, και από την επιστήμη και από την φιλοσοφία, δια παντός.  Αυτά είναι: 

α) Η τελική φύση της ύλης και της δύναμης. 

β) Η προέλευση της κίνησης.

γ) Η προέλευση των απλών αισθήσεων.   

     Αυτός όμως που «τάραξε τα νερά» σ’ ένα τοπίο που είχε βαλτώσει, ήταν ο  μέγας Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1862-1943). Ο Ντ. Χίλμπερτ το 1900 στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι, είχε έντονα αντιδράσει στις πεσιμιστικές  απόψεις του συμπατριώτη του Bois-Reymond υποστηρίζοντας ότι οι απαντήσεις στα προβλήματα των μαθηματικών είναι δυνατές, με την ανθρώπινη προσπάθεια. Ο Hilbert  δήλωσε τότε ότι στα μαθηματικά δεν υπάρχει “ignorabimus”. Στην συνέχεια και επί πολλά χρόνια, εργάστηκε και συνεργάστηκε με άλλους “φορμαλιστές” για να θεμελιώσει τα μαθηματικά σε ακλόνητη βάση.

        Το έτος 1930, στην περίφημη ομιλία του στην Εταιρεία Γερμανών Επιστημόνων στο  Königsberg, “άστραψε και βρόντηξε”:

          “……. Δεν πρέπει να πιστέψουμε εκείνους που προφητεύουν την πτώση του πολιτισμού και αποδέχονται το “ignorabimus”  στις φυσικές επιστήμες. Σε αντίθεση με τον ανόητο “ignoramus et ignorabimus”, το σύνθημά μας πρέπει να είναι:  “Wir müssen wissen   -   Wir werden wissen”  («Πρέπει να γνωρίζουμε –  Θα γνωρίσουμε»)”. Σημ: Θαυμάσια η παρήχηση των γραμμάτων στο σλόγκαν στη Γερμανική γλώσσα

     Παραδοσιακά τα σπουδαιότερα, τα κλασικά, άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών (όπως και της γεωμετρίας στην αρχαιότητα) ήταν τρία:

- Το “Τελευταίο θεώρημα (ή Υπόθεση) του Φερμά”  (1637) 

- Η  “Εικασία του Γκόλντμπαχ”  (1742) 

- Η  “Υπόθεση του Ρήμαν”  (1859)

      Από τα πιο πάνω τρία “ιστορικά” προβλήματα της θεωρίας αριθμών τα δύο πρώτα έχουν εξαιρετικά απλή και κατανοητή διατύπωση και δίδεται πιο κάτω:

-  Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά: “Τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί a, b, και c δεν δύνανται να ικανοποιήσουν την εξίσωση aⁿ + bⁿ = cⁿ, για κάθε ακέραιο αριθμό n, μεγαλύτερο από το δύο”.

-  Η εικασία του Γκόλντμπαχ: “Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών».

     Ο David Hilbert, διαδοχικά μέσα την δεκαετία του ’30,  διατύπωσε ένα δικό του σύγχρονο, δυναμικό και πρωτοπόρο - κατέστη περιώνυμο -  “Πρόγραμμα 23 προβλημάτων”  που… “wir müssen (und werden) wissen”!  Μέχρι και τώρα, χιλιάδες μαθηματικοί δούλεψαν και δουλεύουν σκληρά πάνω σ’ αυτά. Άπειρες οι ανακοινώσεις. Η εργασία τους δεν πήγε / δεν πάει χαμένη. Σημειώθηκαν σημαντικές επιτυχίες. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν μέχρι σήμερα είναι τα πιο κάτω:

- Το “Τελευταίο θεώρημα του Fermat” αποδείχθηκε το 1995 από τους μαθηματικούς Andrew Wiles και Richard Taylor στο πανεπιστήμιο Princeton. Υπ’ όψιν ότι πριν την απόδειξη του είχε καταγραφεί στο βιβλίο Γκίνες, σαν το “πιο δύσκολο Μαθηματικό πρόβλημα”.

- Από τα “23 προβλήματα του Χίλμπερτ” (βλ. Υ. Γ.)  τα 10 επιλύθηκαν εντελώς, δηλαδή οι λύσεις που δημοσιεύτηκαν έγιναν πλήρως αποδεκτές από την μαθηματική κοινότητα. Τα 7 λύθηκαν είτε εν μέρει, είτε με αμφισβητήσεις και διαφωνίες από πολλούς. Τα 3  θεωρηθήκαν υπερβολικά ασαφή, ή ακατανόητα, ή δυσνόητα, ή επιδεκτικά πολλών και διάφορων εκδοχών επίλυσης (ή μη).  

       Μόνον 3 (από τα αρχικά 23) παραμένουν ακόμα άλυτα. Μεταξύ αυτών των 3 άλυτων και η … “Υπόθεση του Ρήμαν”, το μόνο από την “παλιά φρουρά” των μαθηματικών προβλημάτων που είχε συμπεριλάβει στην λίστα του ο Hilbert. Έτσι, από τα πιο πάνω σπουδαιότερα άλυτα προβλήματα που ανέφερα ονομαστικά, άλυτα ακόμη παραμένουν τα “διαβόητα”: 

- Η  “Εικασία του Γκόλντμπαχ”  και

- Η  “Υπόθεση του Ρήμαν”                

 

21ος αιώνας

     Οι προσπάθειες λύσης (παραδοσιακών και νέων που διαρκώς προστίθενται) “άλυτων” μαθηματικών προβλημάτων συνεχίζονται διεθνώς. Ο Αγγλικός εκδοτικός οίκος “Faber and Faber” προσέφερε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων σ’ όποιον αποδείκνυε την “Εικασία του Γκόλντμπαχ” μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002. Κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η “Εικασία” (όπως έχω ήδη πιο πάνω αναφέρει) παραμένει μέχρι σήμερα ανεπίλυτη.

     Η “σκυτάλη” όμως τώρα έχει πάει στην άλλη ακτή του Ατλαντικού!..... Το έτος 2000, το Αμερικανικό Ίδρυμα “Clay Mathematics Institute” (CMI), ένας μη κερδοσκοπικός οργανισμός αφιερωμένος στο μεγάλωμα και στην διάδοση της Μαθηματικής γνώσης, κατέθεσε ένα νέο κατάλογο, επτά άλυτων μαθηματικών προβλημάτων. Λίστα εκσυγχρονισμένη. Τα ζητούντα λύσεις θέματα αφορούν μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, τοπολογία, θεωρία αριθμών, μηχανική ρευστών,  υπολογιστές. Ο CMI θέσπισε και χρηματικά βραβεία. Ένα εκατομμύριο δολάρια για κάθε  μελετητή, που θα επιλύσει (σωστά) ένα απ’ αυτά τα 7 προβλήματα. Πρόκειται για τα περίφημα “Millennium Prize Problems”.

     Στα ανωτέρω 7 “Millennium Prize Problems” συμπεριλαμβάνεται και η γνωστή μας “Υπόθεση Ρήμαν”. Τα υπόλοιπα προβλήματα της λίστας αυτής των Αμερικανών είναι:  Το πρόβλημα “P versus NP”,  Η  εικασία του Hodge,  Η  εικασία του Poincaré,  Η  εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer, Η “Ύπαρξη και μάζα κενού” των Yang και Mills και  Η “Ύπαρξη και ομαλότητα” των Navier και Stokes.

     Το 2006 ανακοινώνεται η πρώτη, και μοναδική μέχρι τα τώρα, επιτυχία. Το επιστημονικό περιοδικό “Science” στις  22/12/2006 την χαρακτήρισε ως “Ανακάλυψη της χρονιάς. Ο δυνατός Ρώσος μαθηματικός Grigori  Perelman (γεν. 1966) βρήκε λύση στην, από 100ετία χρονίζουσα, “Εικασία του Poincaré”!

         Οι ευφυέστατοι μαθηματικοί που έλεγξαν την εγκυρότητα της απόδειξης του Πέρελμαν, χρειάστηκαν 4 χρόνια εργασίας, για να την βεβαιώσουν ορθή!....... Ο Πέρελμαν, αρνήθηκε το εξ 1.000.000 $ βραβείο του CMI! Προγενέστερα είχε αρνηθεί κι’ άλλες τιμητικές διακρίσεις από σημαντικούς φορείς (EMS prize, Fields metal). Στην εφημερίδα Πράβδα δήλωσε τότε:  “Γνωρίζω πώς να κυβερνήσω το σύμπαν!  Γιατί να τρέξω πίσω από…. 1 εκ. δολάρια;” !

………. Και ο Διογένης ο Κυνικός όταν ο Μ. Αλέξανδρος τον επισκέφθηκε και τον ρώτησε τι χάρη θέλει να του κάνει, αυτός του απάντησε (διφορούμενα;): “Αποσκότισόν με”. Ερμηνεύτηκε: “Τραβήξου να μην με σκιάζεις (απ’ τον ήλιο)”…..…..

 

Υ. Γ.       “Τα είκοσι τρία προβλήματα του Χίλμπερτ” (Έτος: 1.900) είναι: (Από τη Βικιπαίδεια)

 

David Hilbert (Καίνιξμπεργκ 1862 – Γκέτινγκεν 1943)

Πρόβλημα	Σύντομη εκφώνηση	Κατάσταση	Έτος επίλυσης
1ο	Η υπόθεση της συνέχειας (αυτή είναι, ότι δεν υπάρχει σύνολο του οποίου ο πληθάριθμος είναι αυστηρά ανάμεσα σε ένα ακέραιο και ένα πραγματικό αριθμό)	Αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να το αποδείξεις αλλά και να το απορρίψεις μέσα στη θεωρία συνόλων των Ζερμέλο-Φρένκελ με ή χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Δεν υπάρχει ομοφωνία στο αν αυτό αποτελεί λύση για το πρόβλημα.	1963
2ο	Απόδειξη ότι τα αξιώματα της αριθμητικής είναι συνεπή.	Δεν υπάρχει ομοφωνία εάν τα αποτελέσματα των Γκέντελ και Γκέτντζεν δίνουν λύση στο πρόβλημα έτσι όπως διατυπώθηκε από τον Χίλμπερτ. Το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ, το οποίο αποδείχθηκε το 1931, δείχνει ότι η απόδειξη της ισχύς του μπορεί να μεταφερθεί και στην αριθμητική. Ο Γκέντζεν απέδειξε το 1936 ότι η συνέπεια των αξιωμάτων της αριθμητικής εναρμονίζεται με τη κανονικότητα των αριθμών [[ε0]].	1936;
3ο	Δοσμένων δύο οποιονδήποτε πολυέδρων ίσου όγκου, είναι πάντα δυνατό να χωρίσουμε το πρώτο σε πεπερασμένο αριθμό μικρότερο πολυέδρων έτσι ώστε να μπορούμε να σχηματίσουμε το δεύτερο;	Λύθηκε με χρήση των αναλλοίωτων του Ντεν.	1900
4ο	Κατασκευάστε όλες τις μετρικές όπου όλες οι γραμμές είναι γεωδαισιακές.	Πολύ ασαφές έτσι ώστε να χαρακτηριστεί λυμένο ή όχι.	–
5ο	Είναι οι συνεχείς ομάδες αυτόματα διαφορίσιμες ομάδες;	Λύθηκε από τον Άντριου Γκλίσον, αναλόγως με το πως είχε διατυπωθεί το πρόβλημα. Αν όμως θεωρηθεί ως παρόμοιο με την εικασία των Χίλμπερτ-Σμιθ, παραμένει ακόμη άλυτο.	1953;
6ο	Η αξιωματοποίηση της φυσικής	Άλυτο.	–
7ο	Είναι ο α β υπερβατικός, για τον αλγεβρικό α ≠ 0,1 και για τον άρρητο αλγεβρικό β ;	Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Ναι, παρουσιάζεται στο θεώρημα των Γκέλφοντ-Σάιντερ.	1935
8ο	Η υπόθεση του Ρίμαν ("το πραγματικό μέρος κάθε μη-τετριμμένης ρίζας της συνάρτησης ζήτα είναι ½") και άλλα προβλήματα πρώτων αριθμών, όπως η εικασία του Γκόλντμπαχ και η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών	Άλυτο.	–
9ο	Βρείτε τον πιο γενικό νόμο του θεωρήματος της αμοιβαιότητας σε κάθε αλγεβρικό σώμα αριθμών.	Λύθηκε μερικώς.	–
10ο	Βρείτε έναν αλγόριθμο έτσι ώστε να καθορίσετε εάν κάθε δοσμένη πολυωνυμική Διοφαντική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραια λύση.	Λύθηκε. Αποτέλεσμα: αδύνατο,στο Θεώρημα του Ματιγιάσεβιτς αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος.	1970
11ο	Λύστε τετραγωνικές μορφές με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές.	Λύθηκε μερικώς.	–
12ο	Επεκτείνεται το θεώρημα των Κρόνεκερ-Βέμπερ σε αβελιανές επεκτάσεις των ρητών αριθμών σε κάθε αριθμητική βάση.	Άλυτο.	–
13ο	Να λυθούν μερικώς οι εξισώσεις βαθμού 7 χρησιμοποιώντας συνεχείς συναρτήσεις δύο παραμέτρων.	Άλυτο. Το πρόβλημα λύθηκε μερικώς από τον Βλαδιμήρ Άρνολντ ο οποίος βασίστηκε σε εργασία του Άντρει Κολμογκόροφ.	1957
14ο	Συμπεριφέρεται ο δακτύλιος των αναλλοίωτων μιας αλγεβρικής ομάδας σε ένα πολυωνυµικό δακτύλιο πάντα ως πεπερασμένα παραγόμενος;	Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Όχι, αντιπαράδειγμα κατασκευάστηκε από τον Μασαγιόσι Ναγκάτα.	1959
15ο	Αυστηρή διατύπωση του απαριθμητικού λογισμού του Σούμπερτ.	Λύθηκε μερικώς.	–
16ο	Περιγράψτε τις σχετικές θέσεις των οβάλ που προέρχονται από πραγματικές αλγεβρικές καμπύλες και περιορίστε τον κύκλο σε ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο.	Άλυτο.	–
17ο	Εκφράστε μια μη αρνητική ρητή συνάρτηση ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων.	Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Ναι, χάρις τον Εμίλ Αρτέν. Επιπλέον, τέθηκε ένα άνω όριο για τον αριθμό των τετραγωνικών όρων που είναι αναγκαίοι.	1927
18ο	(α) Υπάρχει πολύεδρο το οποίο έχει Ανισόεδρο τμήμα το οποίο πρόσκειται σε τρεις διαστάσεις; (β) Ποίο είναι το πυκνότερο πακετάρισμα της σφαίρας?	(α) Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Ναι (από τον Καρλ Ράινχαρτ). (β) Πιστεύεται ευρέως πως έχει λυθεί, από τον Τόμας Κάλιστερ Χέιλς με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. Αποτέλεσμα: Η μεγαλύτερη διάσταση που μπορεί να επιτευχθεί από κλειστό πακετάρισμα, το καθένα με πυκνότητα περίπου 74%, όπως το κυβικό και αυτό του εξαγώνου.
19ο	Οι λύσεις των κανονικών προβλημάτων του λογισμού των διακυμάνσεων είναι πάντα αναλυτικές;	Λύθηκε. Αποτέλεσμα: ναι, αποδείχτηκε από τον Έννιο ντε Γκιόργκι και, χρησιμοποιεί διαφορετικές μεθόδους, του Τζων Φορμπς Νας.	1957
20ο	Έχουν όλα τα προβλήματα διακυμάνσεων με δοσμένες οριακές συνθήκες λύσεις;	Λύθηκε. Ένα σημαντικό θέμα της έρευνας του 20ου αιώνα, δείχνοντας τις λύσεις για την μη γραμμική περίπτωση .	;
21ο	Απόδειξη της ύπαρξης των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων έχοντας προκαθορισμένη μια μονοδρομική ομάδα	Λύθηκε. Αποτέλεσμα: Ναι ή όχι, με βάση τις πιο ακριβείς διατυπώσεις του προβλήματος.	;
22ο	Τυποποίηση των αναλυτικών σχέσεων με την βοήθεια αυτομορφικών συναρτήσεων	Λύθηκε.	;
23ο	Περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμού της διακύμανσης	Ασαφές αν έχει επιλυθεί ή όχι	–

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

ΤΕΛΟΣ  ΑΡΘΡΟΥ