Περιμένοντας το “Νέο Χρόνο” και ο….. Paul von Hindenburg !?

 

Περιμένοντας  το “Νέο Χρόνο” και ο….. Paul von Hindenburg !?

Περιμένοντας το Νέο  Χρόνο……

      Εργάσιμη είναι η τελευταία ημέρα κάθε χρόνου και κοπιαστική, ψώνια κι’ ένα σωρό υποχρεώσεις. Παρά την κούραση όμως, όλοι απόψε θα ξενυχτήσουμε πέραν απ’ τα μεσάνυχτα, προκειμένου με χαρές και φιλιά να ‘υποδεχτούμε’ τον καινούργιο χρόνο. 

ΤΟ ΚΙΝΕΖΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

 

“ΤΟ  ΚΙΝΕΖΙΚΟ  ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ”

       Το ξεκίνημα κάθε νέου χρόνου στην Κίνα γίνεται ταυτόχρονα με την αρχή της δεύτερης (ή τρίτης σε κάποιες περιπτώσεις) νέας σελήνης μετά το χειμερινό ηλιοστάσιο. Επομένως, δύο σεληνιακούς μήνες μετά την 14^η/12/2020, που υπήρξε η τελευταία νέα σελήνη πριν το χειμερινό ηλιοστάσιο του 2020, θα ξημερώσει η  πρώτη ημέρα του νέου έτους για τη μεγάλη αυτή χώρα της Άπω Ανατολής. Σύμφωνα με τον πιο πάνω προσδιορισμό, συμπίπτει να είναι η Παρασκευή 12 Φεβρουαρίου 2021, αφού 29 ή 30 ημέρες διαρκεί κάθε σεληνιακός μήνας.

ΤΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ

ΤΟ  ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ  ΤΗΣ  ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ

 

          Η Γαλλική Επανάσταση (Révolution française, 1789 – 1799)  από την 22α Σεπτεμβρίου, την φθινοπωρινή ισημερία,  του έτους 1792,  έβαλε σ’ εφαρμογή ένα ακόμα νέο και ριζοσπαστικό σύστημα.  Κατάργησε  το, μέχρι τότε ισχύον στην Γαλλία και στις χώρες που ήλεγχε, Γρηγοριανό Ημερολόγιο και έθεσε σε ισχύ ένα δικό της ημερολόγιο: Το calendrier républicain,  ή  calendrier révolutionnaire (français).

Η ΑΝΤΙΠΑΡΟΧΗ - Θεατρικό έργο

 

Η    ΑΝΤΙΠΑΡΟΧΗ

Θεατρικό έργο

 

ΤΑ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΓΙΑΝΝΗΣ………………………     ιδιοκτήτης καθαριστηρίου ρούχων

ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ…………………      σύζυγος του Γιάννη

ΚΛΕΟΝΙΚΗ…………………...     νοικοκυρά, 45 ετών

ΔΗΜΗΤΡΗΣ…………………      αδελφός της Κλεονίκης, γιατρός, 28  

ΦΙΛΙΠΠΟΣ………………………                >  >                 έμπορος, 27

ΔΡΑΚΑΚΗΣ……………………     δικηγόρος

ΣΠΥΡΟΣ ΜΑΡΑΓΟΥΣΑΚΗΣ… εργολάβος οικοδομών

ΜΑΡΘΑ…………………………   γραμματέας του δικηγόρου

Το έργο διαδραματίζεται στον Πειραιά το έτος 1962.

ΠΡΑΞΗ  1η

        Καθαριστήριο ρούχων. Όρθιοι πίσω από  πάγκο εργασίας η Σταυρούλα και στο σιδερωτήριο ο Γιάννης. Μπαίνει στο μαγαζί η Κλεονίκη, πελάτισσα και φίλη τους, κρατώντας ένα μεγάλο μπόγο με ρούχα και τον  αφήνει στον πάγκο. Στην διάρκεια της συνομιλίας οι Γιάννης και Σταυρούλα  συνεχίζουν να κάνουν  την δουλειά τους…..

Η πολυθρόνα - θεατρικό έργο

 

Η   πολυθρόνα

θεατρικό έργο

Τα  ΠΡΟΣΩΠΑ  του  ΕΡΓΟΥ

ΜΙΧΑΛΗΣ …..επιπλοποιός

ΛΕΝΑ………. γυναίκα και βοηθός του Μιχάλη

ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ....κόρη του Γιάννη Καμηλάτη, 50 ετών

ΘΑΝΑΣΗΣ ...... άντρας της Ελευθερίας

ΥΠΑΛΛΗΛΟΣ   βιβλιοπωλείου.

ΠΕΛΑΓΙΑ ...... “βομβόπληκτη”,  65 ετών

ΜΑΤΙΝΑ …….“βομβόπληκτη”,  78 ετών

ΓΙΑΝΝΗΣ     ΚΑΜΗΛΑΤΗΣ  (Λέανδρος   Χατζηγιώργης) 78 ετών

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ    ΒΑΣΟΠΟΥΛΟΣ… >80 ετών

Το έργο διαδραματίζεται στην περιοχή  Αθήνας – Πειραιά, από 7 έως 11 Ιανουαρίου 1994.

Παίδες εν Καμίνω

 

«Παίδες  εν  Καμίνω»

          Ο Ναβουχοδονόσωρ (B’, ο Μέγας) υπήρξε βασιλιάς της Βαβυλώνας (605 - 562 π.Χ.). Τα χρόνια της βασιλείας του αποτελούν την λαμπρότερη περίοδο της ιστορίας της Βαβυλωνιακής αυτοκρατορίας. Πέραν άλλων θαυμαστών επιτευγμάτων του, είχε υποδουλώσει τη Φοινίκη, τη Συρία και το βασίλειο του Ιούδα.

ΕΠΤΑ ΕΠΙ ΘΗΒΑΣ

 

ΕΠΤΑ  ΕΠΙ  ΘΗΒΑΣ

ΕΠΤΑ  ΕΠΙ  ΘΗΒΑΣ 

             Στα χρόνια της Μυκηναϊκής ακμής, πριν ακόμα από τον Τρωικό πόλεμο, πραγματοποιήθηκε η θρυλική εκστρατεία των “ΕΠΤΑ ΕΠΙ ΘΗΒΑΣ”. Συγκλονιστικά την περιέγραψε, στο ομώνυμο θεατρικό του έργο ο Αισχύλος, καθώς και άλλοι ποιητές της αρχαιότητας. Οι επτά  βασιλείς που εξεστράτευσαν  και παρατάχθηκαν  με τον στρατό τους,  καθένας απέναντι σε μία από τις επτά πύλες της οχύρωσης της Θήβας, ήσαν: Τυδέας,   Καπανέας,   Ετέοκλος,  Ιππομέδων,  Παρθενοπαίος,  Αμφιάραος  και  Πολυνείκης  (ο εκδιωχθείς από τον αδελφό του Ετεοκλή συμβασιλέας της Θήβας).  Γενικός αρχηγός της εκστρατείας, χρηματοδότης και οργανωτής  των  “επτά” ήταν  ο Άδραστος, βασιλιάς του Άργους.

Κοσμογονία, εξέλιξη των ειδών και φυσική επιλογή στον Λουκρήτιο

 

Κοσμογονία, εξέλιξη των ειδών και φυσική επιλογή 

- Το «πανόραμα» της προόδου της ανθρωπότητας -

 στον Λουκρήτιο

1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ στο έργο του Λουκρήτιου

      Το ποιητικό και φιλοσοφικό έργο του Λουκρήτιου: “Περί της Φύσεως των πραγμάτων (De Rerum Natura)”, αποτελεί για την Επικούρεια  φιλοσοφία ένα πολύ σημαντικό κείμενο. Καθώς από τον φιλόσοφο Επίκουρο (341- 270 π. Χ.) δεν διασώθηκαν παρά ελάχιστα κι’ αυτά μικρά αποσπάσματα από τα πολυάριθμα έργα που συνέγραψε, η ανθρωπότητα χρωστά μεγάλη χάρη στον Ρωμαίο Λουκρήτιο (Titus Lucretius Carus), τον ποιητή και τον φιλόσοφο, που με το διδακτικό  αριστούργημα του «De Rerum Natura», διέσωσε όσο γίνονταν πιο αυθεντικά, διατυπωμένη σε εξαίσιους Λατινικούς στίχους, την φιλοσοφία του Έλληνα υλιστή φιλόσοφου Επίκουρου.

Οι ηλικίες του α(ν)θρώπου

 

Οι ηλικίες του α(ν)θρώπου

Στα 16  μεγαλώνει και το κόσμο καμαρώνει.

Στα 20  είναι γλεντιστής και καλός τραγουδιστής.

Στα 25  ανθεί και δένει,

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΥΡΕΙΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ   ΚΑΙ   ΕΠΙΚΟΥΡΕΙΕΣ  ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ

Έκδοση συμπληρωμένη 5/9/2022

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1)       Εισαγωγή

2)       Ο Επίκουρος και τα Μαθηματικά

3)       Ο Πυθαγόρας

4)       Ο Πλάτωνας και η Ακαδημία

5)       Ο Ευκλείδης

6)       Από την Φυσική του Επίκουρου

7)       Επικούρειοι – Μαθηματικοί

7.1)  Ο Πολύαινος

7.2) 2ος και 1ος  αι. π.Χ.

7.3) Δημήτριος ο Λάκωνας

7.4)  Ζήνωνας ο Σιδώνιος

7.5) Ο Βόηθος

8)       Θέσεις του Αριστοτέλη

9)       Προβληματισμοί περί την “εις άπειρον διαιρετότητα του συνεχούς”

10)    Σύγχρονες μαθηματικές θεωρίες

1η) Η “Απόλυτη Γεωμετρία”

2η)  Η “Θεωρία των αλγεβρικών αριθμών”

3η) Η “Υπόθεση του συνεχούς”

4η) Η “Θεωρία της μη πληρότητας”

5η)  Η “Αρχή της Διαψευσιμότητας”

6)  Το φιλοσοφικό συμπέρασμα του Born

11)    “Επί τον τύπον των ήλων”

12)     Ανακεφαλαίωση  &  Συμπεράσματα

 

1) Εισαγωγή

  Τα Μαθηματικά μέσα στην Επικούρεια θεωρία αποτελούν κλάδο, που ακόμα μέχρι σήμερα μελετάται και αναλύεται από ξένους -κυρίως- ερευνητές.  Όμως, καθώς οι αρχαίες πηγές είναι λιγοστές και φειδωλές σε πληροφορίες, πολλές από τις οποίες είναι διφορούμενες, ασαφείς, είτε εκ προκαταλήψεως αρνητικές, η γενική τοποθέτηση του Επικουρισμού απέναντι στη μαθηματική επιστήμη εμφανίζεται αβέβαιη, ή αμφιλεγόμενη, ή και εντελώς αρνητική. Και εξ αυτού του λόγου έχουν διατυπωθεί πολλές επικρίσεις.

Επιτακτικό, επομένως, προκύπτει το ζήτημα να διευκρινισθούν πληρέστερα και καλλίτερα οι θέσεις των Επικουρείων για τα μαθηματικά, με νέα ματιά και υπό το πρίσμα των σύγχρονων θεωριών, πολύ περισσότερο που η κρατούσα αντίληψη εν πολλοίς αδικεί - όπως θα δείξουμε - τον Επικουρισμό, ο οποίος προήγαγε μεγάλες και πρωτοπόρες θεωρίες, τόσο στον τομέα της γνωσιολογίας, όσο και σ’ αυτόν της Φυσικής, δύο τομείς της επιστήμης απόλυτα συνδεδεμένους με τα μαθηματικά. Επομένως, θα συνιστούσε ασυνέπεια εάν και γι’ αυτά ο Επικουρισμός δεν επεδείκνυε ανάλογη στάση…..

  Πολλά έχουν λεχθεί για τα Μαθηματικά, την επιστήμη των αριθμών και των σχημάτων και τη διάκριση τους σε καθαρά ή θεωρητικά, που μελετούν αφηρημένες έννοιες και εφαρμοσμένα, που είναι απαραίτητα στην ανάπτυξη όλων των άλλων θετικών επιστημών… Ανυπολόγιστη αξία έχει όλη η μαθηματική επιστήμη, αφηρημένη τε και εφαρμοσμένη. Και για τα πρακτικά – εφαρμοσμένα μαθηματικά αυτό είναι αυτονόητο. Όμως, και πολλές, αρχικά αφηρημένες και  θεωρητικές μόνον, αόριστες και ακατάληπτες, μαθηματικές εργασίες, βρήκαν λαμπρές εφαρμογές σε τομείς της Φυσικής, μάλιστα ανυποψίαστα, αιφνίδια-απρόσμενα και μεταγενέστερα από την διατύπωση τους. Σήμερα μιλάμε και για μια ενιαία επιστήμη, την “Φυσικομαθηματική”. Φυσικομαθηματικοί (σχεδόν αξεχώριστα) υπήρξαν οι περισσότερες διάνοιες των θετικών επιστημών, ανά τους αιώνες.

            Ήδη, προτού ακόμα οι Επιστήμες ξεχωριστούν από την Φιλοσοφία και αποτελέσουν ιδίους κλάδους, ο μεγαλοφυής Leonardo da Vinci (1452–1519), χαρακτηριστικός «Homo Universalis», θα γράψει: «Πραγματική επιστήμη είναι μονάχα εκείνη που στηρίζεται στην μαθηματική απόδειξη». 

Ο Γαλιλαίος (1564 - 1642) στο έργο του "Il Saggiatore" (1623) έγραφε: "Η φιλοσοφία είναι γραμμένη σε αυτό το μεγάλο βιβλίο, το σύμπαν, που είναι μονίμως ανοιχτό μπροστά τα μάτια μας. Όμως αυτό το βιβλίο δεν μπορεί να γίνει κατανοητό αν δεν μάθουμε πρώτα να κατανοούμε τη γλώσσα του και να διαβάζουμε τα γράμματα με τα οποία είναι γραμμένο. Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών.....".

Σύμφωνα με την γενική αντίληψη, η γνώση που προκύπτει από τα μαθηματικά, δεν θεωρείται αποτέλεσμα εμπειρίας, αλλά τεκμαίρεται από μια μεθοδική και με αυστηρούς κανόνες διαδικασία, που έχει υπόβαθρο τη Λογική. Ωστόσο, ο Kant (1724-1804) θεωρούσε τα μαθηματικά προϋπάρχοντα, στα οποία έρχονται να προσαρμοστούν οι έννοιες της Λογικής κατόπιν.

 Ο  Hilbert (1862-1943) υποστήριζε ότι η μαθηματική αλήθεια είναι ανεξάρτητη από την ύπαρξη του Θεού, ή άλλες εκ των προτέρων υποθέσεις. Ο “πρίγκηπας των μαθηματικών” Gauss (1777-1855) τα ονόμασε “βασίλισσα των επιστημών”..... Τα βραβεία Νόμπελ την έχουν παραλείψει την ”βασίλισσα των επιστημών”!

Μαθηματικές εταιρίες και ακαδημίες επιστημών, τακτικά και σε όλες τις χώρες του κόσμου, έχουν καθιερώσει έπαθλα που συνήθως συνοδεύονται με όχι ευκαταφρόνητα χρηματικά ποσά. Επιβραβεύονται έτσι, σχετικά αποφασίζουν οι αρμόδιες επιτροπές που συστήνονται, πρωτοπόροι μαθηματικοί - ερευνητές.

Από τα δεκάδες θεσμοθετημένα βραβεία για επιστήμονες μαθηματικούς, ξεχωρίζουν τα πιο κάτω δύο, τα οποία μάλιστα θεωρούνται ως τα «Νόμπελ των Μαθηματικών».

1) Το Βραβείο Άμπελ (Abel Prize)

Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του πρωτοπόρου Νορβηγού μαθηματικού Niels Henrik Abel (1802 – 1829). Ο Ν. Άμπελ έζησε στη φτώχεια και πέθανε σε ηλικία 26 ετών από φυματίωση. Το βραβείο προτάθηκε αρχικά το 1899 για να δοθεί στην επέτειο των 100 χρόνων από τη γέννηση του Ν. Άμπελ και βέβαια για να συμπληρώσει τα βραβεία που είχε θεσμοθετήσει το 1895 ο Σουηδός Άλφρεντ Νόμπελ, τα οποία δεν είχαν τέτοια πρόβλεψη.

Η διαθήκη του βιομήχανου και εφευρέτη Άλφρεντ Νόμπελ, το 1895,  ήταν αυτή που θεσμοθέτησε τα βραβεία Νόμπελ, στη Φυσική, στη Χημεία, στη Φυσιολογία ή Ιατρική, στη Λογοτεχνία και στην Ειρήνη. Για πρώτη φορά απονεμήθηκαν το 1901. Το βραβείο Νόμπελ δεν απονέμεται μετά θάνατο και δεν μπορεί να μοιράζεται σε περισσότερα από τρία άτομα. Από το 2012, κάθε βραβείο Νόμπελ ήταν ύψους 8 εκατ. κορόνες Σουηδίας - περίπου 728.000 ευρώ (1 Κορόνα Σουηδίας (SEK)  ισούται με 0,091 Ευρώ).

Από το 1814 και έως το 1905 υπήρχε ένωση των βασιλείων της Σουηδίας και της Νορβηγίας υπό κοινόν μονάρχη. Η ένωση των δύο χωρών όμως διαλύθηκε το 1905 (με ειρηνικό δημοψήφισμα) και το θέμα απονομής βραβείου για τα μαθηματικά ατόνησε. Θα επανέλθει ξανά το 2001 από την νορβηγική κυβέρνηση, όταν αυτή ανακοίνωσε ότι το βραβείο θα απονέμεται στο εξής, αρχής γενομένης από το 2002, επέτειο των 200 χρόνων από τη γέννηση του Άμπελ.  Πάντως, το πρώτο βραβείο Abel απονεμήθηκε το 2003. Το βραβείο συνοδεύεται από χρηματικό έπαθλο ύψους 6 εκατ. Νορβηγικών κορόνων - γύρω στα 576.000 ευρώ (1 Κορόνα Νορβηγίας (ΝΟK) = 0,0960 €)

2) Το Μετάλλιο Φιλντς (Fields Medal)

Απονέμεται (σε δύο, τρεις ή τέσσερις μαθηματικούς κάτω των 40 ετών) σε κάθε διεθνές συνέδριο της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης (IMU), το οποίο διεξάγεται κάθε τέσσερα χρόνια. Το όνομα του βραβείου δόθηκε προς τιμήν του Καναδού μαθηματικού Τζον Τσαρλς Φιλντς (John Charles Fields, 1863 – 1932), ο οποίος και το εγκαινίασε, το έτος 1936, σχεδίασε το μετάλλιο του και ανέλαβε την κάλυψη του χρηματικού ποσού που συνόδευε το βραβείο, 15.000 δολάρια Καναδά - γύρω στα  11.200 ευρώ. (1 δολάριο Καναδά (CAD) = 0.75 €). 

 O Whitehead (1861–1947) διατεινόταν ότι χωρίς τα μαθηματικά θα ήταν αδύνατο να αποκτήσουμε μία εικόνα του κόσμου, όμως ο Χέγκελ υποστήριζε ότι «Τα μαθηματικά δεν συνιστούν κατά κανένα τρόπο εννόηση»!

  Ο Einstein (1879 –1955) αναρωτιόταν: “Πως συμβαίνει τα μαθηματικά, τα οποία, εν τέλει, είναι προϊόν της ανθρώπινης σκέψης ανεξάρτητης από την εμπειρία, να προσαρμόζονται κατά τόσο θαυμάσιο τρόπο προς τα πραγματικά αντικείμενα”;  Ωστόσο μετά επισημαίνει: “Όσο οι νόμοι των μαθηματικών αναφέρονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σίγουροι. Και στο μέτρο που είναι βέβαιοι, δεν αναφέρονται στην πραγματικότητα”!

  Πάλι, ισχύει ότι τις μαθηματικές οντότητες, σε πολλούς και διάφορους μαθηματικούς κλάδους, δημιουργούν και  περιγράφουν οι ίδιοι οι μαθηματικοί (όχι η φυσική πραγματικότητα). Αυτοί καθιερώνουν και τα σύμβολα τους. Και με τη βοήθεια αυθαίρετων συμβάσεων και με τους κανόνες που επινοούν, συνδυάζουν αυτά τα μεγέθη και καθορίζουν τις τιμές τους.

  Ο Όσβαλντ Σπένγκλερ στο βιβλίο του: «Η παρακμή της Δύσης» (1918, έργο μεγάλης επηρείας κατά την 3^η δεκαετία του 20^ου αι.)  αποφαίνεται: «Ο αριθμός καθ’ εαυτόν δεν υπάρχει, ούτε μπορεί να υπάρξει. Υπάρχουν περισσότεροι του ενός κόσμοι των μαθηματικών, επειδή υπάρχουν πολλοί πολιτισμοί. Δεν υπάρχει μία μαθηματική επιστήμη, υπάρχουν απλώς πολλών ειδών μαθηματικά».    

  Πάντως, ως προς την παλαιά κυρίαρχη αντίληψη, γέννημα της μαθηματικής μισαλλοδοξίας και του Νευτώνειου ντετερμινισμού, πως η άπειρη πολυπλοκότητα του φυσικού σύμπαντος μπορεί να περιγραφεί πλήρως από κάποια μαθηματική θεωρία, τόσο απλή που να την καταλαβαίνουν όλοι οι άνθρωποι, έχει αποδειχθεί μια “ψευδαίσθηση”. Βρισκόμαστε ήδη σε μια νέα εποχή,  εποχή κριτικής σε όλη τη παραγωγική σκέψη, εποχή αμφιβολίας και ταπεινοφροσύνης. Σύμφωνα με τον A. L. Crelle (1780-1856) μπορούμε να ελπίζουμε μονάχα σε ολοένα και καλύτερες προσεγγίσεις της “μαθηματικής αλήθειας” ….   

            Λέγεται ότι “Mathematicus nascitur, non-fit”.  Στη Γαλλία, όπως είχα διαβάσει πριν χρόνια,  γινόταν σοβαρή συζήτηση για να καταργήσουν από τα σχολεία τη διδασκαλία των μαθηματικών, πάνω από ένα στοιχειώδες επίπεδο, αφού εκατομμύρια μαθητές κάθε χρόνο ζουν καθημερινά σε δυστυχία και απόγνωση, χωρίς να προκύπτει όφελος ούτε γι’ αυτούς, ούτε για τη κοινωνία. Και αυτό δεν είναι παράλογο, στο βαθμό που ισχύει το προαναφερθέν ρητό: “Ο μαθηματικός γεννιέται, δεν γίνεται”.

           Μάλιστα, η μεγάλη δυσκολία κατανοήσεως των μαθηματικών από τους περισσότερους των ανθρώπων έκανε τον Κοπέρνικο, στον πρόλογο του βιβλίου του “De revolutionibus orbium coelestium” (Περί των περιστροφών των ουρανίων σφαιρών),  Νυρεμβέργη 1543, να δηλώσει σαφώς ότι: “Τα μαθηματικά είναι για τους μαθηματικούς”.

         Στο χειρόγραφο του σημαντικότατου αυτού βιβλίου, ο Νικόλαος Κοπέρνικος γράφει καθαρά ότι, ως άριστος γνώστης της αρχαίας ελληνικής γλώσσας, είχε διαβάσει τις απόψεις του Αρίσταρχου του Σάμιου, που έθετε τη Γη να περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο, αλλά και των Πυθαγόρειων φιλοσόφων, Φιλόλαου και Ικέτα.

              Η ικανότητα στα Μαθηματικά είναι όντως ένα προσόν, ένα χάρισμα, που ομολογουμένως δεν θα το έλεγες συνηθισμένο. Αυτονόητο τυγχάνει ότι, όπως κάποιος που θέλει να γίνει μαθηματικός να μην παρεμποδίζεται, έτσι και ουδείς να μην υποχρεώνεται να γίνει με το ζόρι, αφού εύκολος τρόπος να μάθει κάποιος μαθηματικά δεν υπάρχει…… 

                     «Μην είναι βασιλικήν ατραπόν επί γεωμετρίαν»… λέγεται ότι απάντησε ο Μέναιχμος στον Μ. Αλέξανδρο, όταν ο Βασιλιάς των Μακεδόνων του ζήτησε τρόπο εύκολα να κατακτήσει την Γεωμετρία...... Ακόμα και οι ιδιοφυίες δεν εξαιρούνται. Ο Thomas Alva Edison έλεγε η ιδιοφυία είναι 99% ιδρώτας και 1% έμπνευση….  

Ως προς τη σχέση των μαθηματικών προς την επιστήμη υπάρχουν δύο βασικές απόψεις. Η πρώτη είναι ότι τα μαθηματικά είναι αυθύπαρκτα (έχουν δηλ. ύπαρξη και πέραν από τον άνθρωπο) και η δεύτερη ότι είναι μια ανθρώπινη εφεύρεση. Μεταξύ των δύο αυτών θέσεων οι λεγόμενοι “Ιντελεκτουαλιστές”, (όπως ο Α. Αϊνστάιν)  δέχονται ότι η πραγματικότητα έχει στην ουσία της κάποια λογικότητα και ότι τα μαθηματικά αποτελούν “μέσον” δια του οποίου το “διανοείσθαι” δύναται να φθάσει στο “ειδέναι” (Δ. Θ. Δημαράς σελ. 266, από την «Γνωσιολογία» του Ε. Ν. Παπανούτσου).  Ο Boole (1815-1864) είχε πει ότι πέρα από τη γνώση που αποκτάται με την άμεση παρατήρηση, ο άνθρωπος αντλεί γνώση και από κάποια πηγή απροσδιόριστη και αόρατη (το “ασυνείδητο”).          

Μία τολμηρή θεώρηση, ο “Διαισθητισμός (Intuitionism” / Ιντουισιονισμός), που θεωρείται ότι  ίδρυσε ο Ολλανδός μαθηματικός LEJ Brouwer (1881-1966), κάτω και από τη διαμορφωτική επιρροή του Άρθουρ Σοπενχάουερ (1788-1860), εκτιμά ότι τα Μαθηματικά συνιστούν μια πολύπλοκη διεργασία του νου, κατά την οποίαν η υπέρβαση της λογικής, η διαίσθηση και η ενόραση παίζουν τον σημαντικό ρόλο. Το ρεύμα αυτό αναπτύχθηκε στις αρχές του  20ου αι., στην προσπάθεια για μια μεταρρύθμιση - ανασυγκρότηση  των μαθηματικών, και βρέθηκε σε οξεία αντιπαράθεση με τον “φορμαλισμό” του Hilbert.  

Ο Poincaré (1854–1912), υποστηρικτής τέτοιων απόψεων, πίστευε στη γένεση μαθηματικών “εμπνεύσεων” από “υποσυνείδητες” σκέψεις (πάντως μετά από μια λίγο-πολύ μακρά περίοδο σκληρής εργασίας του μαθηματικού), και ότι η Λογική ελάχιστα επεμβαίνει στις ανακαλύψεις ή στις εφευρέσεις. Ισχυρίζονταν ότι κάτι περισσότερο από τη Λογική κάνει τα Μαθηματικά να είναι αυτό που είναι, και ότι τουλάχιστον μερικές μαθηματικές έννοιες προηγούνται της λογικής (Ως είδαμε, και ο Kant το ίδιο πίστευε). Μάλιστα, αν μία πρέπει να προκύπτει από την άλλη, είναι η λογική που πρέπει να συναχθεί από τα Μαθηματικά και όχι το αντίστροφο.

 Ο Weierstrass (1815-1897)  έλεγε: “Είναι αλήθεια ότι ένας μαθηματικός που δεν είναι επίσης λιγάκι ποιητής, δεν θα γίνει ποτέ τέλειος μαθηματικός”.  Έτσι περίπου εκφράστηκε και ο Γκέοργκ Χάμελ, πρόεδρος της μαθηματικής ένωσης της Γερμανίας στον πρυτανικό του λόγο στο Techische Hochschule του Βερολίνου το 1928: «Τα μαθηματικά εμφανίζονται ως η κατ’ εξοχήν ορθολογική επιστήμη για το ευρύ κοινό….Εδώ θα διαφωνήσω και θα υποστηρίξω τη θέση ότι τα μαθηματικά είναι τέχνη και ότι σε τελευταία ανάλυση δεν καθορίζονται λογικά, αλλά υπερβατικά…. Ο μαθηματικός είναι ποιητής. Όπως ο δραματουργός, έτσι κι’ αυτός δημιουργεί μια μορφή…. Το πρόβλημα των άρρητων αριθμών οδηγεί τα μαθηματικά στη μεταφυσική…».

Ο Cantor (1845-1918) ανέπτυξε τη θεωρία του για το άπειρο βασισμένος σε διαισθητικές αντιλήψεις για τα σύνολα. Ο Schrödinger (1887–1961) με αυτό το πνεύμα δήλωσε ότι επινόησε τη κυματική εξίσωση του.

Ο Einstein σε μια σειρά συναντήσεων του με τον συγγραφέα William Hermanns, μεταξύ πολλών και διάφορων, λέει και τα εξής:  «Η “Διαίσθηση” μας κάνει να αντιληφθούμε γεγονότα άσχετα μεταξύ τους τα οποία στη συνέχεια προσπαθούμε να τα μελετήσουμε, μέχρι να κατορθώσουμε να τα συσχετίσουμε με τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορέσουμε να τα θέσουμε κάτω από την ισχύ ενός φυσικού νόμου……Η “Διαίσθηση” είναι ο πατέρας της Νέας Γνώσης, ενώ ο Εμπειρισμός δεν είναι παρά μια συσσώρευση των παλαιών γνώσεων.……Πράγματι, δεν είναι η “Νόηση”, αλλά η “Διαίσθηση” που προωθεί την Ανθρωπότητα. Η διαίσθηση λέει στον άνθρωπο ποιος είναι ο σκοπός του σε αυτή τη ζωή….». (“Πως o Einstein έβλεπε τον Κόσμο / How Einstein Saw the World”).

  Τα Μαθηματικά είναι έμφυτα σε όλους τους ανθρώπους αναμφίβολα, όμως σαν επιστήμη αναπτύχθηκε, συστηματοποιήθηκε και διαδόθηκε στο κόσμο από Έλληνες, αυτούς δηλαδή που, ασχέτως του τόπου καταγωγής τους,  κατείχαν παιδεία Ελληνική. Αυτοί προσδιόρισαν τις έννοιες και τις αποδεικτικές διαδικασίες της. Ο όρος “μαθηματικά” (που εξάγεται από τη λέξη “μανθάνω”), με την σημερινή του έννοια, καθιερώθηκε σε νεότερα χρόνια. Οι πρόγονοι μας μεταχειρίζονταν τους όρους: Αριθμητική (για τις διακριτές ποσότητες / τους φυσικούς αριθμούς), Γεωμετρία (για τις συνεχείς ποσότητες / τα σχήματα), και Λογιστική (για τις εν τη πράξει εφαρμογές των μαθηματικών στο εμπόριο και στην καθημερινότητα).  

        Σήμερα, τέσσερες είναι οι κυρίες υποδιαιρέσεις των Μαθηματικών: Αριθμητική – Γεωμετρία – Άλγεβρα – Ανάλυση.  

   Τα μαθηματικά στην Ελλάδα, θεωρείται ότι ξεκινούν με τον Θαλή τον Μιλήσιο (περ. 624-546 π.Χ.). Ακολουθεί λαμπρά σειρά πραγματικά πολλών και σπουδαίων μαθηματικών, μέχρι και το τέλος του αρχαίου κόσμου, τα ονόματα και επιτεύγματα των οποίων, ξεφεύγει των πλαισίων του παρόντος μικρού και ατελούς άρθρου, ακόμα και απλά να αναφερθούν.

   Η γνώση Αριθμητικής, Γεωμετρίας, Αστρονομίας, Μουσικής ήταν σημαντική όλες τις εποχές. Ήταν μάλιστα και προϋπόθεση να φοιτήσει κάποιος σε φιλοσοφικές σχολές της αρχαιότητος. Επιγραφή στην είσοδο της Πλατωνικής Ακαδημίας προανήγγελλε: “Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω”.

 

2) Ο Επίκουρος και τα Μαθηματικά

Πάνω στο θέμα της μαθηματικής η Επικούρεια κοσμοθεωρία έχει, ασφαλώς, τις δικές της θέσεις, που είναι βασισμένες πάνω στις θεμελιώδεις αρχές της και συνάδουν με τους κύριους στόχους της. Στον Επικουρισμό οι επιστήμες επιδιώκονται και μελετώνται εφόσον είναι χρήσιμες στην αιτιολόγηση ενός φυσικού φαινομένου ή στην αποσαφήνιση συγκεκριμένου Επικούρειου δόγματος ή θεωρίας. “Θεωρητικολογίες”, με αφετηρία υποθέσεις, που δεν θα μπορούσαν να επιβεβαιωθούν με την παρατήρηση, τον έλεγχο και την εμπειρία, όπως και στην από μετά τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα σύγχρονη επιστήμη, δεν χρειάζονται.     

Όμως, ούτε καν αυτή η μελέτη της φύσης δεν συνιστά, ως θεωρητική κι’ από μόνη της, απαραίτητη επιζήτηση, αλλά μόνον για να παραπέμψει τα συμπεράσματα της στην “Ηθική” και να ασφαλίσει τον τελικό σκοπό της Επικούρειας φιλοσοφίας, που είναι η ηδονή, μέσω καταστάσεως σταθερής και διαρκούς (καταστηματικής) ηρεμίας /αταραξίας.

Ο Επίκουρος εξάλλου, (κατά τον Διογένη Λαέρτιο), απέρριπτε τη σοφιστική διαλεκτική και  ρητορεία ως αποπροσανατολιστικές. Από τον ρήτορα απαιτούσε σαφήνεια. Οι δε φυσικοί επιστήμονες,  έλεγε, αρκεί να προχωρούν στη σκέψη τους χρησιμοποιώντας τις λέξεις που ανταποκρίνονται στα πράγματα… Με βάση τέτοιες αρχές συγκροτήθηκε η αυστηρή μεθοδολογία που ονομάστηκε “Κανόνας”.

Ο “Κανόνας” αποτελεί την Επικούρεια γνωσιολογία. Και η αντίθεση του “Κανόνα” των Επικούρειων, με τις, στην “Πλατωνική Διαλεκτική” και την “Αριστοτέλεια Λογική”, βασισμένες μεθόδους διδασκαλίας θεωρητικών μαθημάτων, μεταξύ των οποίων και τα αφηρημένα μαθηματικά, (που γίνονταν στην Ακαδημία και το Λύκειο),  είναι θεμελιώδης.

   Ο Επίκουρος δίδασκε, λοιπόν, ότι μαθηματικοί συμβολισμοί, μέθοδοι με αφετηρία καθολικές αρχές, καθώς και διαλεκτικές συζητήσεις θεωρητικών ζητημάτων, ήταν περισσότερο ρητορικά παιχνίδια που αποπροσανατόλιζαν τη σκέψη, παρά διαδικασίες που την οδηγούσαν στην γνώση και αποκάλυψη της φυσικής πραγματικότητας. Κι’ αυτό, διότι πίστευε ότι καμιά συζήτηση κι επιχειρηματολογία, δεν υποκαθιστά την παρατήρηση της Φύσης με τις αισθήσεις και τα άλλα “κριτήρια της αλήθειας” του “Επικούρειου Κανόνα”.

    Αντιπροσωπευτική, των πιο πάνω απόψεων για τα μαθηματικά, είναι η γνώμη του μεγάλου μαθηματικού Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768 - 1830) ότι: «Κύριος σκοπός των μαθηματικών είναι το κοινό όφελος και η εξήγηση των φυσικών φαινομένων».  

                  “Μαθηματικά” δεν διδάσκονταν στον “Κήπο” την  εποχή του Επίκουρου και των πρώτων, μετά απ’ αυτόν, διευθυντών αυτής “διότι τα μαθηματικά δεν βοηθούν στην απόκτηση της σοφίας” / “ως των μαθημάτων (δηλ. των μαθηματικών) μηδέν συνεργούντων προς σοφίας τελείωσιν”.

         Αυτό το γράφει ο Σέξτος ο Εμπειρικός, επιφανής Πυρρωνικός του 2ου μ.Χ. αι., στο έργο του: «Προς μαθηματικούς». Το έργο αυτό του Σέξτου, αποτελούμενο από 6 βιβλία, απευθύνονταν ξεχωριστά προς “γραμματικούς”, “ρητορικούς”, “γεωμετρικούς”, “αριθμητικούς”, “αστρολόγους” και “μουσικούς” και ελέγχει το “δογματισμό” που θεωρούσε ότι χαρακτηρίζει τα λεγόμενα “εγκύκλια” μαθήματα, τα “μαθηματικά”, όπως ο Σέξτος αποκαλεί συλλήβδην όλα τα μαθήματα.

  Αναφορικά με την πιο πάνω βαρυσήμαντη φράση που αποδίδεται στον Επίκουρο, σημειώνουμε, ότι τα (“καθαρά”) Μαθηματικά δεν είχαν μόνον λάτρεις, πολλοί των οποίων ανάλωσαν όλη τη ζωή τους μελετώντας τα, αλλά και επικριτές, για διάφορους λόγους. Περιβόητη είναι η άγρια επίθεση που δέχθηκαν από τον Σκωτσέζο φιλόσοφο William Hamilton (1788-1856)..... 

ΠΡΟΣΟΧΗ: Αυτός ο Χάμιλτον δεν είναι ο εξαιρετικός Ιρλανδός  μαθηματικός William Rowan Hamilton (1805-1865). Πρόκειται για κάποιον "άλλο Χάμιλτον" , συνονόματο του μεγάλου μαθηματικού..... 

«Τα Μαθηματικά παγώνουν και στεγνώνουν το μυαλό. Η εξαντλητική μελέτη των Μαθηματικών καθιστά απολύτως ανίκανη τη σκέψη για τις πνευματικές εργασίες τις οποίες απαιτούν η φιλοσοφία και η ζωή…. Τα μαθηματικά δύνανται ευχερώς να στρεβλώσουν τη σκέψη, αλλά δεν μπορούν ποτέ να την διορθώσουν» (E. T. BELL: “Οι Μαθηματικοί”, σελ.548-9).

Ο γνωστός για την ενασχόληση του με την αρχαία φιλοσοφία, Ελληνοαμερικανός καθηγητής Γρηγόρης Βλαστός (1907-1991) θεωρεί -και πολλοί συμφωνούν σ’ αυτή την άποψη- ότι οι Επικούρειοι δεν φαίνεται να είχαν υποστηρίξει τη φυσική θεωρία τους και με κάποια γεωμετρία του ατόμου. Δηλαδή με μια ειδική “ατομιστική γεωμετρία”, σε αντιστοιχία της “ατομιστικής φυσικής θεωρίας” τους, ή το είχαν επιχειρήσει και πειραματιστεί, αλλά ανεπιτυχώς.

  Και η μη ενασχόληση των Επικούρειων με την γεωμετρία εξηγείται, κατ’ αυτόν και άλλους, εκ του ότι οι Επικούρειοι θεωρούσαν τα μαθηματικά αφηρημένες έννοιες και διαλογισμούς, έξω από αισθητηριακές αντιλήψεις, άσχετες και μη απαραίτητες στη  παρατήρηση και μελέτη της φύσης, γνώσεις που δεν συνεισφέρουν στη ηθική διδασκαλία τους, που είχε ως κύριο στόχο της την αταραξία του πνεύματος και την ευδαιμονία του ανθρώπου, όπως είπαμε. Και κατά τον Russel, οι Επικούρειοι δεν έδειχναν αληθινό ενδιαφέρον για άλλο τι, πέραν της “ευδαιμονίας” του ανθρώπου.   

Ωστόσο, ο Επίκουρος συνέγραψε ένα ολόκληρο έργο, το: “Περὶ τῆς ἐν τῇ ἀτόμῳ γωνίας” (Διογ. Λαερτ. X 28),  του οποίου το περιεχόμενο, δυστυχώς, δεν γνωρίζουμε, όπως και τόσων άλλων του ιδίου.  Υπήρχε, άρα,  ενδιαφέρον του Επίκουρου για “θεωρία της γωνίας”, και αυτή  είχε να κάνει με την εσωτερική δομή των ατόμων (όπως υποδηλώνει ο τίτλος του έργου), δηλ. με το δόγμα των ατομικών “ελαχίστων”, αλλά  - πιθανόν -  και με την θεωρία της “παρέγκλισης” (swerve).  

Κι’ αν έτσι,  μέσω κάποιας γεωμετρίας, στο πιο πάνω χαμένο έργο, ίσως, ο Επίκουρος να εξηγεί και γιατί το άτομο παρεκκλίνει, κατ’ εκείνο τον ελάχιστο βαθμό της κατακορύφου (με τη δημιουργία μιας  ελαχίστης γωνίας), ώστε να υπάρχουν οι πάσης φύσεως μεταβολές στη φύση και ακόμα να δικαιολογείται το αποφασιστικό ηθικό δόγμα του, η ύπαρξη ελεύθερης βούλησης (Θαυμάσια περιγράφεται στον Λουκρήτιο, βιβλ. II 243-257).

Φυσικά, δεν αρκεί αυτή η πιθανολογία για να ισχυριστούμε ότι οι Επικούρειοι είχαν αναπτύξει και  θετική γεωμετρία, όμως αποτελεί αξιόλογη ένδειξη ύπαρξης τουλάχιστον μιας Επικούρειας γεωμετρικής πρότασης, η οποία θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί “φυσική του χώρου” - μάλλον - παρά “γεωμετρία”, προκειμένου να μην υπάρχει παρανόηση των όρων.

  Επίσης: Διάσημο κατέστη το πιο πάνω απόσπασμα που αναφέραμε από τον Σέξτο τον Εμπειρικό, όμως άλλα σημαντικά αποσπάσματα του ιδίου συγγράμματος (Σέξτος:“προς γεωμετρικούς” M III 100-101, 104, 106) έρχονται να ενισχύσουν την πιο πάνω υπόθεση μας, ότι δηλ. οι Επικούρειοι είχαν αναπτύξει ορισμένους ορισμούς της γωνίας, που χρησιμοποιήθηκαν στην έννοια του ελάχιστου μέρους.

  Όσο για τη σχέση γεωμετρίας - φυσικής, ο Δ. Θ. Δημαράς γράφει (“Στοιχεία φιλοσοφίας από την μαθηματικήν”, σελ. 264)  “…..θεωρείται επιβεβαιωμένη σήμερα η άποψη ότι τα στοιχεία τα οποία αποτελούν το σύμπαν ημών από των απειροελαχίστων μορίων μέχρι των απειρομεγεθών σωμάτων, συνδέονται προς άλληλα δια σχέσεων αίτινες δύνανται να εκφραστούν δια σχέσεων αριθμών, ή δια σχέσεων γεωμετρικών στοιχείων”.

  Ως προς την άρνηση ενασχόλησης (αποστροφή κατά τους οξείς επικριτές), στα  Μαθηματικά από μέρους των Επικουρείων, πρέπει να διασαφηνίσουμε ακόμα μια φορά, ότι αυτή αφορά τα ξεκομμένα από πρακτικές εφαρμογές θεωρητικά Μαθηματικά, αυτά που διδάσκονταν με σχολαστικό τύπο σαν αυτοσκοπός στις άλλες σχολές, ως σημειώνει ο καθηγητής Χαρ. Θεοδωρίδης.  

Θεωρήματα μη εποικοδομητικά δεν ενδιέφεραν τους Επικούρειους. Προφανώς αυτό, δεν αφορούσε, ούτε θα μπορούσε να αφορά την ονομαζομένη «Λογιστική», δηλ. τις συνήθεις πράξεις αριθμητικής, γεωμετρίας και λογιστικής (λογαριασμών πάσης φύσεως), άκρως απαραιτήτων στη καθημερινότητα. Ούτε βέβαια τους μαθηματικούς υπολογισμούς των κάθε λογής μηχανικών και τεχνιτών στη μελέτη και εκτέλεση κατασκευών και τεχνικών έργων, καθώς και στη ναυτιλία, γεωργία, μετεωρολογία, παρατηρήσεις τ' ουρανού, κλπ.

Άλλωστε αυτές, οι πρακτικές μαθηματικές γνώσεις (δηλ. οι εφαρμοσμένες) και η αστρονομία, υπήρξαν  μέρος όλων των πολιτισμών από την αρχή της ιστορίας τους, με πρώτα δείγματα τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Και με αυτές τις -χρήσιμες- μαθηματικές γνώσεις εκτελέστηκαν εκπληκτικά -ανυπέρβλητα- έργα (οικοδομικά, υδραυλικά κ.ά.), που προκαλούν θαυμασμό μέχρι και σήμερα. Και βέβαια κανείς φυσικός φιλόσοφος δεν θα μπορούσε σε τέτοια θέματα να αντιπαρατίθεται με την πρόοδο των κοινωνιών, χωρίς να χάνει σε αξιοπιστία και κύρος.

   Απέναντι στη Μαθηματικά της εποχής, οι Επικούρειοι -μόνοι αυτοί- είναι αλήθεια προέβαλαν αντιρρήσεις, αυτές όμως είχαν να κάνουν με όλως θεωρητικά ζητήματα. Και αυτές οι αντιρρήσεις προέκυψαν λόγω του αφηρημένου, ξεκομμένου από τα πραγματικά προβλήματα ης κοινωνίας,  χαρακτήρα των θεωριών που υποστηρίχθηκαν και διδάχτηκαν κυρίως από δύο εκ των μεγαλύτερων φιλοσοφικών σχολών της αρχαιότητας, που προϋπήρχαν του Κήπου του Επίκουρου:

- Της Πυθαγόρειας, όσον αφορά τις, μυστικοπαθούς – θεολογικού χαρακτήρα και εκτός αισθητηριακής εμπειρίας ιδεοληψίες του ιδρυτή της σχολής Πυθαγόρα, οι οποίες εξαιρετικά επηρέασαν και τον Πλάτωνα. Και να σημειώσουμε εδώ ότι η φημισμένη θεωρία του “Περί Ιδεών”, ουσιαστικά, δεν διαφέρει από την “περί αριθμών” του Πυθαγόρα, όπως αναφέρει στα έργα του και ο Αριστοτέλης.

- Της Πλατωνικής Ακαδημίας όσον αφορά τα σκοτεινού χαρακτήρα μαθηματικά – γεωμετρικά  προβλήματα - γυμνάσματα (όπως είναι η χρησιμοποίηση μόνον κανόνα και διαβήτη στη γεωμετρία) που επέβαλε ο  Πλάτωνας στους μαθητές του, προκειμένου να αποδειχθούν “προκείμενες” που είχε θέσει, στα πλαίσια της εκπαιδευτικής του τακτικής, αδιάφορα κατά πόσον ή όχι ήταν αληθείς.  

    Αλλά και του σύγχρονου του Επίκουρου Ευκλείδη, απέναντι στην “αξιωματική” γεωμετρία του οποίου εκφράστηκαν ακραιφνώς μαθηματικού χαρακτήρα απορίες και αντίλογοι από Επικούρειους δασκάλους, γνώστες της μαθηματικής, μάλιστα διατυπωμένες σε βιβλία, τα οποία ευρέως κυκλοφόρησαν και συζητήθηκαν επί αιώνες στην αρχαιότητα.

   Και ως προς την “θεολογικού τύπου” Πυθαγόρεια αριθμολογία και γεωμετρία,  η Επικούρεια απόκριση είναι ορθολογική, απλή κι’ ευνόητη. Δεισιδαιμονίες, προλήψεις, μυστικισμοί και μεταφυσικές έννοιες, που βρίθουν μέσα στις Πυθαγόρειες, αλλά και στις Πλατωνικές  κοσμοθεωρίες (βλ. Τίμαιο κ.ά. διάσπαρτες στα Πλατωνικά έργα), δεν γίνονται δεκτές, πολύ περισσότερο δεν μπορεί και να διδάσκονται στον Κήπο, καθότι βρίσκονται στον αντίποδα της Επικούρειας φιλοσοφίας. Μάλιστα, η αντίθεση στη μυστικοπάθεια, τους γρίφους και τα “δαιμόνια” - βρόγχο στο λαιμό της επιστήμης και της προόδου -  δεν δηλώνει άλλο τι, παρά ένα πρωτοπόρο και ριζοσπαστικό “διαφωτισμό.

    Αποφατική υπήρξε, επίσης, η Επικούρεια τοποθέτηση και απέναντι σε μαθηματικά, έξω από  πρακτικές - χρηστικές εφαρμογές, δηλ. απέναντι στα μαθηματικά της καθαρής και της αφηρημένης νόησης,  ωφέλιμα μόνον σαν προγύμνασμα και εργαλείο σκέψης για την Πλατωνική Διαλεκτική.

      Όμως, οι παρατηρήσεις και οι αμφισβητήσεις απέναντι σε σημεία της Ευκλείδειας γεωμετρίας, από τη φύση τους δύσκολα κι’ αμφιλεγόμενα, όπως τις εξέφρασαν Επικούρειοι δάσκαλοι-ειδήμονες μαθηματικοί, συνιστούν ένα άλλο ζήτημα, που έχει ιδιαίτερη βαρύτητα. Κι’ αυτό γιατί, οι αντιλογίες των Επικουρείων απέναντι στον Ευκλείδη, τις δύο  επιστήμες - μαθηματική και φυσική - τις συμπληρώνουν, διευκρινίζουν και εμπλουτίζουν, μάλιστα στις πιο καίριες περιοχές τους, εκεί που αυτές φθάνουν στα  αξεπέραστα  όρια τους.

3) Ο Πυθαγόρας

Ο Πυθαγορισμός ήταν ένα θρησκευτικό-πολιτικό κίνημα, που γρήγορα απέκτησε μαθητές και οπαδούς, που  εξαπλώθηκαν στον Ελληνικό κόσμο ως το τέλος της αρχαιότητας. Μερικοί Πυθαγόρειοι υπήρξαν σημαντικοί. Ο αρχηγέτης του κινήματος Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-490 π.Χ.), μετά από διαμονή 22 χρόνων στην Αίγυπτο, όπου φοίτησε στα ιερατεία της Μέμφιδας, της Ηλιούπολης και της Διόσπολης και άλλων 12 χρόνων θητείας με Πέρσες μάγους στη Βαβυλώνα,  μετά την κατάληψη της χώρας του Νείλου από τον Καμβύση, βασιλιά της Περσίας, επέστρεψε στη πατρίδα, έμπλεος Αιγυπτο-Χαλδαϊκής σοφίας…..  με ότι αυτό συνεπάγεται!

   Πολλοί κατά την αρχαιότητα ήταν οι “Αιγυπτο-σπουδασμένοι”!.... “Μαρτυρούσι δε και Ελλήνων οι σοφώτατοι Σόλων, Θαλής, Πλάτων, Εύδοξος, Πυθαγόρας,……… εις Αίγυπτον αφικόμενοι και συγγενόμενοι τοις ιερεύσιν……. Πυθαγόρας δ’ Οινούφεως Ηλιουπολίτου. Μάλιστα δ’ ούτος, ως έοικε, θαυμασθείς και θαυμάσας τους άνδρας απεμιμήσατο το συμβολικόν αυτών και μυστηριώδες….” (Πλούταρχος «Περί Ίσιδος και Οσίριδος, 354, Ε,10)     

   Μετά από μικρή περιπλάνηση στον Ελλαδικό χώρο ο Πυθαγόρας εγκαταστάθηκε στην ακμάζουσα δωρική, αποικία των Αχαιών, πόλη του Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, όπου ίδρυσε σχολή, το “Ομακοείον”.  Ήταν λίγο πριν φθάσει - σε ηλικία - 60 χρονών.  Το Ομακοείον βίαια καταστράφηκε μετά με το θάνατο του και ο Πυθαγορισμός για πολλά χρόνια αδράνησε, όμως μετά επανήλθε σαν “Νεοπυθαγορισμός”, περί τον 1ο αι. π.Χ.

   Οι βιβλιογραφικές πληροφορίες μας για τον Πυθαγόρα και τον Πυθαγορισμό, οφείλονται κυρίως σε συγγραφείς, που -εκτός από το Φιλόλαο- έζησαν πολλούς αιώνες μεταγενέστερα, όπως είναι ο Διογένης ο Λαέρτιος, ο Πορφύριος και ο Ιάμβλιχος. Την προσωπικότητα και το όλον έργο του Πυθαγόρα καλύπτουν μυστήρια, παραλογισμοί και θρύλοι διάφοροι, ωστόσο αποτελούν κεφάλαιο της φιλοσοφίας μας.

   Τις περί των μαθηματικών, ιδιάζουσες θεωρίες των Πυθαγορείων, εν πολλοίς, είχε υιοθετήσει και καλλιεργήσει στη σχολή του, όπως αναφέραμε προηγουμένως, ο Πλάτωνας. Κατά τον Αριστοτέλη (Μετά τα Φυσικά) τα “είδη” του Πλάτωνα και οι “αριθμοί” του Πυθαγόρα είναι  έννοιες ταυτόσημες…… “μίμησιν, φασίν, είναι τα όντα των αριθμών”.  

Ο Αριστοτέλης,  περιγράφοντας κι’ αυτός, με εκτίμηση, τις Πυθαγόρειες θεωρίες, τονίζει ότι πρώτος ο Πυθαγόρας, ως από τις βαθιές μαθηματικές του γνώσεις, κατέδειξε ότι οι αρχές των μαθηματικών είναι επίσης και αρχές του Όντος. Πίστευαν, οι Πυθαγόρειοι, πως στους αριθμούς διέβλεπαν μεγάλη ομοιότητα προς ό,τι είναι και γίνεται / «…εδόκουν θεωρείν ομοιώματα πολλά τοις ούσι και γιγνομένοις….» (“Μετά τα Φυσικά” 985b29).  

  Οι Πυθαγόρειοι, πλην του κόσμου των φαινομένων, δέχονταν κι έναν άλλον κόσμο αΐδιον, τον μεταφυσικό κόσμο των αριθμών, αντιληπτό μονάχα με την νόηση και τη διαίσθηση. Ο αριθμός είναι έννοια συμβολική, επέκεινα της μαθηματικής, δια της οποίας ο Πυθαγόρας…… εδήλου το εν τοις σώμασι ενυπάρχον αθάνατο, υπερβατικό στοιχείο…… “Το γαρ σοφότατον των όντων εστίν ο αριθμός”….. Οι αριθμοί ενυπάρχουν όχι μόνον στα πράγματα, αλλά και στις ιδιότητες τους, στην κίνηση τους,  πανταχού. Ο αριθμός, ο ακέραιος αριθμός, είναι η ουσία των όντων….

          Σχετικά, στα νεότερα χρόνια, στον  διάσημο καθηγητή L. Kronecker (182-1891) αποδίδεται ο ισχυρισμός: “Ο θεός δημιούργησε τους ακεραίους. Όλα τα υπόλοιπα είναι έργο του ανθρώπου”. Επίσης, ο  Kronecker έλεγε: “ Όλα τα αποτελέσματα της πιο εμβριθούς μαθηματικής έρευνας πρέπει να είναι τελικά δυνατόν να εκφραστούν με την απλή μορφή των ιδιοτήτων των ακεραίων”.

  Κατά τους Πυθαγορείους, η Μονάδα είναι η πρώτη αρχή “ης ουκ εστί γέννεσις”, το πνεύμα, ο αιθέρας, η ενέργεια, η δύναμη. Η αιτία της τάξης, της συμμετρίας και αρμονίας που επικρατεί στο σύμπαν /κόσμο  (κόσμος = στολίδι, ως το ονόμασε).  Είναι αυτός ο Θεός του Πυθαγόρα.  

Η δυάς είναι η ύλη (ύδωρ και γη).  

Η τριάς είναι ο χρόνος (παρελθόν – παρόν – μέλλον), η αρχή-μέσον-τέλος, η γέννηση-ζωή-θάνατος.

Η τετράς είναι ο χώρος.  

Ο αριθμός πέντε τα 5 στοιχεία εκ των οποίων σύγκειται ο κόσμος (γη – νερό – αέρας – πυρ - αιθέρας) καθώς και τα 5 αντίστοιχα (κανονικά) πολύεδρα (6εδρο/κύβος - 20εδρο - 8εδρο - 4εδρο - 12εδρο)…. Πρόκειται για τα γνωστά μας 5 Πλατωνικά στερεά.

Ο έξι, συμβολίζει τα έξι είδη των έμψυχων όντων, ήτοι: θεούς, δαίμονες, ήρωες, ανθρώπους, ζώα, φυτά.

Ο επτά, τους ισάριθμους, γνωστούς την εποχή εκείνη,  πλανήτες: Ερμής,  Αφροδίτη,  Άρης,  Ζευς, Κρόνος,  Σελήνη,  Ήλιος.

Ο οκτώ, τις 8 ουράνιες σφαίρες και τους 8 φθόγγους της μουσικής κλίμακας - αρμονίας του κόσμου.

Ο εννιά (τελειότατος αριθμός), τους 9 κοσμικούς χώρους του στερεώματος.

Ο δέκα, το σύμπαν… κλπ..

  Φαντασία χωρίς όρια συσχέτιζε τους αριθμούς με διάφορες έννοιες ή φυσικά αντικείμενα και φαινόμενα. Μετέτρεπαν λέξεις σε αριθμούς και αντίστροφα, με βάση την αρχαία ελληνική αρίθμηση, που χρησιμοποιούσε γράμματα της αλφαβήτου (Λεξάριθμοι) και έδιναν απίθανες ερμηνείες.

  Το 4, η τετρακτύς, ήταν ό,τι πιο ιερό γι’ αυτούς. Στο όνομα της ορκίζονταν οι Πυθαγόρειοι. Τετρακτύ ονόμαζαν και το 10, άθροισμα των πρώτων τεσσάρων αριθμών (1+2+3+4=10), το οποίο 10, αθροιζόμενο “θεοσοφικώς” (1+0=1) αποδίδει την αρχική μονάδα, το 1, που συμβολίζει την επάνοδο, επιστροφή, ανακύκλωση.

    Ιερά είναι και η τριάδα των αριθμών 3, 4, 5, καθ’ όσον το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πρώτων (9+16) ισούται με το τετράγωνο του τρίτου (=25), όπερ παραπέμπει στο “Πυθαγόρειο θεώρημα”.…

   Μικρή παρένθεση για το “Πυθαγόρειο θεώρημα”, που αναγνωρίζεται ως το πιο σημαντικό απ’ όλα τα γεωμετρικά θεωρήματα…..  Στο 1^ο βιβλίο του Ευκλείδη καταγράφεται ως  η πρόταση 47. Συν τοις άλλοις, ο όλος κλάδος της τριγωνομετρίας στηρίζεται πάνω σ’ αυτό… Έχουν καταγραφεί πάνω από 1.000 αποδείξεις του θεωρήματος και ο αριθμός αυτός συνεχώς μεγαλώνει! Έως τα νεότερα χρόνια το θεώρημα αποδίδονταν στον Πυθαγόρα αναντίρρητα. Όμως στον 20ο αι. αυτό αμφισβητήθηκε, μετά από αξιολόγηση ευρημάτων παλαιότερης εποχής στην αρχαία Βαβυλώνα.  

 Αλλά και για άλλον ένα λόγο η τριάδα των αριθμών 3,4,5 ήταν ιερή!.... Διότι το άθροισμα των κύβων τους (27+64+125) ισούται προς 216…… δηλαδή 6 εις τον κύβο = 216!  Το δε 6 θεωρούσαν τέλειο αριθμό, γιατί το άθροισμα των μερών του ισούταν με τον ίδιο αριθμό, το 6 (6:6=1, 6:3=2, 6:2=3 και  1+2+3=6)……..  Μέρη δε αριθμού, ο Πυθαγόρας καλούσε πάντα τα δυνατά πηλίκα αυτού, τα λαμβανόμενα δια διαιρέσεως του αριθμού με όλους τους δυνατούς διαιρέτες του - πλην της μονάδος - του εαυτού του συμπεριλαμβανομένου. Και άλλοι αριθμοί φυσικά διακρίνονταν για την ως άνω “τελειότητα” τους, ενώ άλλες σχετικές διακρίσεις των αριθμών, ήταν αριθμοί ελλιπείς, υπερτελείς και φίλιοι. 

   Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον άρτιο αριθμό ελλιπή και ατελή, τον περιττό πλήρη και τέλειο, ενώ εντελώς αποτροπιάζονταν τον αριθμό 17…. “όλως τον αριθμόν αυτόν αφοσιούνται”, ως παρεμβαλόμενο μεταξύ του τετραγώνου αριθμού 16 και του παραλληλόγραμμου αριθμού 18……  

             Κατά σύμπτωση (;) το ίδιο και οι Αιγύπτιοι, οι οποίοι αφηγούνται στους μύθους τους,  ότι ο θάνατος και διαμελισμός του Οσίριδος έλαβε χώρα τη 17^η του μηνός Αθύρ, όταν και η Σελήνη αποκτά τη μεγαλύτερη λάμψη της (πανσέληνος).  (Πλούταρχου «Περί Ίσιδος και Οσίριδος, 367 F,42)

   Μυστηριώδεις κι’ αινιγματικοί ήταν και οι συμβολισμοί που έδιναν σε γεωμετρικά σχήματα:

Η ορθή γωνία συμβολίζει την αρετή, ενώ η αμβλεία και η οξεία την κακία, την ένδεια και την υπερβολή.

Η κάθετος (επί άλλην) γραμμή είναι εικόνα της ζωής που βαδίζει προς τον θάνατο.

Η ευθεία γραμμή, ως δυναμένη να επεκτείνεται απεριορίστως, είναι σύμβολο της γνώσης του Συνόλου, αλλά και της….. απαρεγκλίτου και αδιαστρόφου και αχράντου και ανεκλείπτου και παντοδυνάμου και πανταχού παρούσης Προνοίας!......

   Ο κύκλος είναι εικόνα του νοουμένου όντος,

 το ισόπλευρο τρίγωνο της πρώτης ψυχής, πριν αυτή αρχίσει να μετεμψυχούται σε άλλους ανθρώπους ή οργανισμούς.

Το τετράγωνο, ως έχον όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ορθές, όθεν και τιμιώτερον λέγεται, εκφράζει τη δικαιοσύνη. Το παρομοίαζαν με το “θείον”, τον οποίον έχει άχραντον τάξιν, ισότητα, ορθότητα κλπ.…...…  

Βλ. περισσότερα και στην εγκυκλοπαίδεια «ΗΛΙΟΣ», Ευάγγελος Σταμάτης.

                 Υπό το πρίσμα της σύγχρονης επιστήμης, τα πιο πάνω “παράξενα” της Πυθαγόρειας μαθηματικής  φαντασίας, δεν δύνανται να χαρακτηριστούν “αθώες” αλλόκοτες αντιλήψεις. Αντίθετα, ενέχουν σοβαρούς κινδύνους για τον ανθρώπινο πολιτισμό……

         Από δημοσιευμένο, στο περιοδικό “Ο Κήπος του Επίκουρου”, τεύχος ΙΕ, Μάρτιος 2011, Εκδόσεις Βερέττα, άρθρο του αν. καθηγητή Ιατρικής στο ΕΚΠΑ κ. Χρ. Γιαπιτζάκη, σταχυολογώ μερικές παρατηρήσεις, σχετικά με τα πιο πάνω αναφερθέντα:  “……Η φανταστική χρήση της αριθμητικής και της γεωμετρίας ως οργάνων συμβολισμού και εξιδανίκευσης της Φύσης μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένες εκτιμήσεις της πραγματικότητας……  Στο DNA μας είναι καταγεγραμμένες έμφυτες ικανότητες πρακτικής χρήσης των μαθηματικών για την επιβίωση και για την καλυτέρευση της ζωής μας…… Οι μαθηματικοί υπολογισμοί είναι κλάδος της ανθρώπινης δραστηριότητας ήδη από την παλαιολιθική εποχή”, κ.ά.     

Οι Επικούρειοι έναντι των πιο πάνω εξωφρενικών απόψεων των Πυθαγορείων,  βασιζόμενοι στην παρατήρηση και τον  έλεγχο του “Κανόνα”, πίστευαν ότι στη περίπλοκη Φύση δεν χωρούν μαθηματικά - αποκυήματα φαντασίας, δεν υπάρχει κρυφό νόημα στους αριθμούς, ούτε άλλοι απ’ αυτούς είναι τέλειοι, άλλοι όχι. Επίσης στη Φύση, τη  πολυσύνθετη,  δεν έχουν ανταπόκριση εντελείς μαθηματικές αναλογίες, δεν  διαπιστώνονται απόλυτες ορθότητες και άψογες αντιστοιχίες με κανονικά  γεωμετρικά - στερεομετρικά σχήματα και  κύκλους. 

Ωστόσο ο Πυθαγορισμός, έξω από τον παράδοξο αριθμό-μυστικισμό του, που αποτελεί και τον συντριπτικά μεγαλύτερο όγκο της όλης ενασχολήσεως του με τα μαθηματικά, πρέπει να πιστωθεί με την πρώτη συστηματική, αλλά και σημαντική, ανάπτυξη αυτών.

Πολλές προτάσεις, θεωρήματα και πορίσματα της αριθμητικής και της γεωμετρίας αποδίδονται σε έρευνες και ανακαλύψεις τους, όπως π.χ. ότι “το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές” (“Μετά τα Φυσικά” (Ε1026B,10) και πρόταση 32 του 1^ου βιβλίου Των “Στοιχείων”), ο “αριθμός της χρυσής τομής” – “διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο” - ως κανόνας ομορφιάς που χρησιμοποιείται στις αναλογίες (πρόταση 11 του 2ου βιβλίου Των “Στοιχείων”),  κ.ά. πολλά!

Το είδος της αριθμητικής των πρώτων Πυθαγορείων, στηρίζονταν στο “εποπτικώς δεικνύειν”, και ήταν μια  “αριθμητική ψηφίδων”, όπου οι αριθμοί παριστάνονταν με σχήματα φτιαγμένα με πετραδάκια (“ψήφοι”). 

Ο Πυθαγόρας θεωρείται, επίσης, ο ιδρυτής της μουσικής επιστήμης, της οποίας το μαθηματικό μέρος ονόμασε “Αρμονική”. Μάλιστα, τα μαθήματα: αριθμητική – γεωμετρία – μουσική, που πρώτος στην Ελλάδα εισήγαγε ο Πυθαγόρας, αργότερα μαζί και η αστρονομία, θ’ αποτελέσουν την “τετρακτύν” των  σπουδών, μέχρι και τα Μεσαιωνικά χρόνια, σε Ανατολή και Δύση.

            Ο σημαντικός λόγιος της λεγόμενης “Παλαιολόγειας Αναγέννησης” στον τομέα των γραμμάτων και των επιστημών,   Γεώργιος Παχυμέρης (1242-1310), θα συγγράψει το «Σύνταγμα των τεσσάρων μαθημάτων, αριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας και αστρονομίας».   Στη Δύση η “τετρακτύς” σπουδών αντιστοιχούσε με το περιεχόμενον του “quadrivium”.

Και τελειώνω τα αφορώντα τα μαθηματικά του Πυθαγόρα με δυο λόγια για το θρυλούμενο περιστατικό, πολύ γνωστό, της αποκάλυψης των ασύμμετρων (ή άρρητων) αριθμών (Για το πότε συνέβη η αποκάλυψη των αρρήτων αριθμών, οι γνώμες των ιστορικών κυμαίνονται από το 480 έως το 400 π.Χ.).  Οι Πυθαγόρειοι, διδάσκοντες ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός (δηλ. ακέραιος) μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο άλλων φυσικών αριθμών και πως με τη χρήση των αριθμών αυτών μπορούσαν να εξηγήσουν όλα τα προβλήματα του κόσμου, αντιμετώπισαν τεράστια κρίση στην οργάνωση τους, όταν ο εκλεκτός μαθητής του Πυθαγόρα  Ίππασος ο Μεταπόντιος (περίπου 450-430 π.Χ.) δημοσιοποίησε την ύπαρξη των άρρητων αριθμών, δηλ. αυτών που “δεν μπορούν να ειπωθούν (= α-ρητοί)”, των “καταραμένων” αριθμών, που με κανένα τρόπο δεν μπορούν να παρασταθούν ως πηλίκον δύο ακεραίων (δεκαδικοί αριθμοί, μη περατούμενοι και μη περιοδικοί).

Αυτή ήταν μια γνώση, στα ιερατεία της Αιγύπτου – πιστεύεται – δεν την αγνοούσαν, που κρατούσε επτασφράγιστο μυστικό ο Πυθαγόρας… “ω_ι, μάλιστα ήρεσκεν η εχεμύθεια και το σιγάν, α μη χρη λέγειν”.  (Πλούταρχος «Περί Ομήρου», Β΄149).

   Η ύπαρξη ατερμόνων φυσικών αριθμών και γεωμετρικών μεγεθών κλόνιζε την υποτιθέμενη ιερότητα που οι Πυθαγόρειοι δίδασκαν πως έχουν οι ακέραιοι - μόνον οι ακέραιοι – αριθμοί. Το Πυθαγόρειο αφήγημα της θεμελίωσης όλων των μαθηματικών στους ακεραίους κατέρρευσε.  Συνεπακόλουθα, η ύπαρξη των άρρητων αριθμών αμφισβητούσε το κύρος όλης της διδασκαλίας και αυθεντίας του Πυθαγόρα και - φαίνεται - ότι εξ αυτού του λόγου…… ασφαλώς, και από άλλες κοινωνικό-πολιτικές Πυθαγόρειες αντιλήψεις που μαθητές και οπαδοί του Πυθαγόρα προσπαθούσαν να επιβάλλουν σε ελληνικές πολιτείες…..   προκλήθηκαν βίαιες  αναστατώσεις σε πόλεις της Κάτω Ιταλίας, όπου την εξουσία ασκούσαν Πυθαγόρειοι. Πάντως, οι Πυθαγόρειοι εξέλειπαν από την Ιταλική χερσόνησο για πολλές δεκαετίες στη συνέχεια, ο δε “ανόσιος καταδότης”  Ίπασσος  είχε θλιβερό τέλος.

Στην εποχή του, οι φιλοσοφικό-ηθικές και κοινωνικοπολιτικές δοξασίες του Πυθαγόρα επηρέασαν αποφασιστικά την ελληνική σκέψη και φιλοσοφία, ιδιαίτερα τον Πλάτωνα και τους Νεοπλατωνικούς, ως γράψαμε. Απέναντι όμως αυτών που εγκωμίασαν τη σοφία του, μεταξύ αυτών και  ο Εμπεδοκλής (495–435), στάθηκαν άλλοι που διατύπωσαν σοβαρές αμφισβητήσεις και αντιδράσεις στην διδασκαλία του….

Ο σύγχρονος του Πυθαγόρα φιλόσοφος και ποιητής Ξενοφάνης (570–480) ειρωνεύτηκε την θεωρία του για τις “μετενσωματώσεις”, ο δε σχετικά νεώτερος του Ηράκλειτος ο Εφέσιος τον κατέταξε στους “ψευδών τέκτονας”, τον χαρακτήρισε ως αρχηγό των τσαρλατάνων  (“κοπίδων αρχηγός”) και τον κατηγόρησε για “πολυμαθίην” και “κακοτεχνίην”. Με το ίδιο πνεύμα τον είδε και ο ιστορικός Ηρόδοτος (484-425).

 

4)  Ο Πλάτωνας και η Ακαδημία

“Ακαδημία” ονομάσθηκε η φιλοσοφική σχολή που ίδρυσε, γύρω στο 387, ο Πλάτων (427-347) και όσο ζούσε δίδασκε και διηύθυνε.

     Στην Ακαδημία γίνονταν παραδόσεις σχετικές με θέματα γνωσιολογίας, οντολογίας, μαθηματικών, αστρονομίας, κοσμολογίας, ηθικής, περί ψυχής και άλλων μεταφυσικών ιδεών, ενώ ο Αριστοτέλης, που υπήρξε μαθητής της για μεγάλο χρονικό διάστημα, κάνει λόγο και για διδασκαλία “άγραφων δογμάτων”. Από τους κύριους στόχους της Ακαδημίας ήταν η εκπαίδευση πολιτικών ανδρών.  

     Οι πιο πάνω διδασκαλίες ήταν, ασφαλώς, σύμφωνες με την φιλοσοφία, όπως την γνωρίζουμε, από τα έργα που κατέλειπε ο Πλάτωνας. 

     Η διδασκαλία εκεί ήταν δωρεάν, σε αντίθεση με αυτές των σοφιστών, ωστόσο, οι μαθητές έπρεπε εξ ιδίων να φροντίζουν τον εαυτό τους και ως εκ τούτου προέρχονταν -κυρίως- από εύπορες οικογένειες.

 

      Η Ακαδημία υπήρξε κέντρο μαθηματικής έρευνας. Εκεί συνέρρεαν οι ικανότεροι μαθηματικοί, απ’ όλα τα μέρη. Της αναγνωρίζεται τεράστια συνεισφορά στη διάδοση και προαγωγή της γεωμετρίας, στη μεθοδολογία της και στην “αξιωματικοποίση” της.

  Πάντως, η πληροφορία από συγγραφείς της ύστερης αρχαιότητας ότι στην Ακαδημία του Πλάτωνα υπήρχε επιγραφή: “ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ”, ελέγχεται ως αναληθής.

 Επίσης, δεν ήταν όλοι οι μαθηματικοί - μαθητές του Πλάτωνα και θιασώτες της διδασκαλίας του. Παράδειγμα ο Εύδοξος ο Κνίδιος (407-335), ο σημαντικότερος από τους μαθηματικούς και αστρονόμους της εποχής του, θεωρούμενος εφάμιλλος του Αρχιμήδη.  

Ο Εύδοξος ο Κνίδιος στη Φυσική δεχόταν την περί του Νου θεωρία του Αναξαγόρα (500-428), στην Ηθική δε τις δοξασίες του μαθητή του Σωκράτη και ιδρυτή της Κυρηναϊκής (Ηδονιστικής) Σχολής Αρίστιππου (435 – 355). 

  Ας σημειώσουμε εδώ ότι και ο Αριστοτέλης (Στάγειρα 384 - Χαλκίδα 322), μαθητής της Ακαδημίας επί 20 χρόνια (367 - 347) που εξελίχτηκε σε εξ ίσου με τον δάσκαλο του σημαντικός φιλόσοφος, υπήρξε έντονα επικριτικός απέναντι στην περί «Ιδεών» θεωρία του Πλάτωνα, την   βασικότατη (και στυλοβάτη) της όλης διδασκαλίας του.  

 

         Το μεγάλο βάρος που ο Πλάτωνας έδινε στην επιστήμη των Μαθηματικών, βρίσκεται στο ότι την θεωρούσε απαραίτητη για να φθάσει κανείς στην γνώση, “ την αλήθεια ή το αγαθόν”,  μέσω όμως της δικής του  μεθόδου “Διαλεκτικής”.

      “Διαλεκτική”, όπως λέει η ίδια η λέξη, δεν είναι άλλο παρά μια συζήτηση συνήθως  διαφορετικών απόψεων. Όμως, στους διαλόγους του Πλάτωνα, με τον τρόπο, ικανότητα και επιτηδειότητα του, έφθανε ίσαμε την παραδοχή της δικής του απόψεως και την αποκάλυψη της (κατ’ αυτόν)  αληθείας.

 

Ο Αριστοτέλης, στα “Μετά τα Φυσικά”, αφού γράφει (Α 992a28-29) ότι:  «Όλως δε ζητούσης της σοφίας περί το φανερόν το αίτιον….», παρακάτω (Α 992a37- 992b1) παρατηρεί ότι:  «….. αλλά γέγονε τα μαθήματα τοις νυν η φιλοσοφία, φασκόντων των άλλων χάριν αυτά δειν πραγματεύεσθαι».

 

Δηλ. «Γενικώς ειπείν, μολονότι η φιλοσοφία ζητεί να μάθει τας αιτίας των φαινομένων….….τουναντίον, δια τους σημερινούς φιλοσόφους, (αναφέρεται στους Πλατωνικούς), φιλοσοφία είναι τα μαθηματικά, μολονότι, λέγουν, ότι πρέπει να ασχολούμεθα με αυτά χάριν των άλλων επιστημών». 

 

Εκείνη την εποχή δεν υπήρχε ενιαία μαθηματική επιστήμη με την σημερινή έννοια, ούτε  ο όρος «μαθηματικά». Ως τέτοια (υπό την γενική ονομασία «μαθήματα») εννοούντο ξεχωριστά οι κλάδοι της Αριθμητικής - Γεωμετρίας -  Στερεομετρίας (ως μελέτες των ιδιοτήτων των αριθμών, των επιπέδων σχημάτων και των όγκων αντίστοιχα), η Λογιστική που αναφέρονταν στους λογαριασμούς, η Αστρονομία, η Αρμονία.

 

Στο κεφάλαιο αυτό αναζητούμε την θέση που είχαν τα Μαθηματικά στο φιλοσοφικό σύστημα του Πλάτωνα, μέσα από τα ίδια του τα συγγράμματα. 

Και το 7ο (Ζ΄) βιβλίο της «Πολιτείας» (πιστεύεται ότι συμπληρώθηκε μεταξύ του 380 και 370) αποτελεί την ακριβέστερη πηγή μας. Εκεί, λοιπόν, ο Πλάτων γράφει:

 

 "Οι προορισμένοι, από την τάξη των φυλάκων να ανυψωθούν σ’ αυτήν των αρχόντων, θα πρέπει να τύχουν ειδικής εκπαιδεύσεως, που θα συμπληρώνει την παιδεία που έτυχαν ως φύλακες". 

 Και αυτή η πρόσθετη – ειδική εκπαίδευση τους δεν είναι άλλη από τα μαθηματικά….

   Το εκπαιδευτικό σύστημα του Πλάτωνα περιγράφεται στο 2ο και 3ο βιβλίο, και για την τάξη των φυλάκων συνίσταται σε Μουσική και Γυμναστική.

 

  Πίστευε, ο Πλάτων, ότι η σπουδή των πιο πάνω μαθημάτων θα κατευθύνει τις ψυχές αυτών που προορίσται να αναλάβουν τα μέγιστα αξιώματα προς την θέα και την μελέτη του “αγαθού”, το οποίον αόρατον και όντως ον, αποδεικνύει και ορίζει η “Διαλεκτική”.

Η “Διαλεκτική” είναι η επιστέγαση (ο θριγκός) και το συμπλήρωμα των άλλων επιστημών, η μόνη πραγματική επιστήμη, «….ώσπερ θριγκός τοις μαθήμασιν  η διαλεκτική ημίν επάνω κείσθαι, και ουκετ’ άλλο τούτου μάθημα ανωτέρω ορθώς αν επιτίθεσθαι….»  («Πολιτεία» βιβλίο Ζ΄,535e)

 

Για το “αγαθόν” («Πολιτεία» βιβλ. ΣΤ, 509 b) ο Πλάτων είχε πει:  «Ουκ ουσίας όντος του αγαθού, αλλ’ έτι επέκεινα της ουσίας πρεσβεία και δυνάμει υπερέχοντος».

 Δηλ. «Το αγαθόν δεν είναι ουσία, αλλά κάτι πολύ ανώτερο ως προς την τάξη και δύναμη».      

 

              Χαρακτηριστικό είναι το πιο κάτω εδάφιο («Πολιτεία» βιβλίο Ζ΄,8–525c):

              “……Ολόκληρη η αριθμητική και η λογιστική ασχολείται με τον αριθμό, ώστε τα μαθήματα αυτά φαίνεται πως οδηγούν στην αλήθεια. Κατά τρόπο ανυπέρβλητο μάλιστα..... Και πρέπει με νόμο να θεσπίσουμε αυτό το μάθημα, και να υποχρεώσουμε τους μέλλοντες να καθέξουν ανώτατα αξιώματα στην πολιτεία να επιδίδονται στην λογιστική.

           Και μάλιστα να την μελετήσουν όχι επιπόλαια, αλλά μέχρι του βαθμού να είναι ικανοί να αντικρύσουν, δια της καθαράς νοήσεως, την ίδια τη φύση των αριθμών και να την σπουδάσουν όχι για να την χρησιμοποιούν βέβαια όπως οι έμποροι και οι μεταπράτες στις δοσοληψίες τους, αλλά για να την εφαρμόσουν στον πόλεμο και στην  διευκόλυνση της ψυχής στο να μεταστραφεί από την γένεση (τα φθαρτά πράγματα) στην αλήθεια και την ουσία…..”.

Ο Πλάτων διακρίνει ως ανεξάρτητες επιστήμες την Αριθμητική (που ασχολείται με το διακριτό - οι αριθμοί)  από την Γεωμετρία (που ασχολείται με το συνεχές – τα μεγέθη τα επ’ άπειρον διαιρετά).  Τονίζουμε, ο Πλάτων χρησιμοποιεί τα μαθηματικά, ως εργαλείο σκέψης για τη Διαλεκτική, την όλη  φιλοσοφία του εν γένει.

Και γι’ αυτόν τα μαθηματικά όντα δεν είναι αισθητά, αλλά ιδεατά, και έχουν τέλειες - ιδεατές ιδιότητες (φ. ε. ένας αισθητός κύκλος δεν είναι παρά μια απομίμηση του ιδεατού κύκλου).  

 

  Το, Πυθαγορο-Πλατωνικής εμπνεύσεως, όραμα της ιδανικής τελειότητας των αριθμών και των σχημάτων, συναφώς και της “Ουράνιας Αρμονίας”, η ανθρωπότητα το έχει πληρώσει πολύ ακριβά.

   Η κίνηση των πλανητών “κατά τέλειους κύκλους” (το «Πτολεμαϊκό αστρολογικό  σύστημα»), υπήρξε το τελευταίο “οχυρό” αυτής της προκατάληψης, που πεισματικά αντιστέκονταν ως τις αρχές του 17ου αι. Τότε εκκωφαντικά καταρρίφθηκε από  τον «νομοθέτη του σύμπαντος» Γιοχάνες Κέπλερ, βασισμένου στις παρατηρήσεις  του Τύχο Μπράχε, πάνω στις κινήσεις των πλανητών.

 

                  Διότι, πολλές διαφορετικές αντιλήψεις, στην πορεία του χρόνου, οι ιδεαλιστές είχαν υποχρεωθεί να παραδεχτούν ως σωστές ή πιθανές, εκτός από το να μη περιστρέφονται τα “θεϊκά” ουράνια σώματα σε τέλεια κυκλική τροχιά. Έτσι, όταν  ο  Κέπλερ ξέφυγε από το κοσμικό μοντέλο των 5 ιδεατών στερεών, που περιγράφει στο “Mysterium Cosmographicum” (1596) και έφθασε στο “Astronomia Nova  ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΤΟΣ” (1609) η ανθρωπότητα είχε - ουσιαστικά -  κάνει ένα άλμα δυο χιλιετηρίδων!

  Το (τερατώδες) κοσμικό μοντέλο των 5 ιδεατών στερεών στο “Mysterium Cosmographicum” του Κέπλερ, είχε πηγήν εμπνεύσεως την Πλατωνική αντίληψη ότι οι βασικές αλήθειες της φύσης αποκαλύπτονταν στις σχέσεις μεταξύ των κανονικών γεωμετρικών σχημάτων, όπως και στις σχέσεις μεταξύ αριθμών (κατά την Πυθαγόρεια παράδοση).

 

  Την ίδια ακριβώς εποχή (1610) συνέπεσε και η δημοσιοποίηση από τον Γαλιλαίο μιας περιγραφής του σύμπαντος, όπως αυτό είχε φανεί μέσα από το τηλεσκόπιο του. Έτσι, Γαλιλαίος και Κέπλερ έστειλαν στο χρονοντούλαπο της ιστορίας της φυσικής, δια μιας και οριστικά, και το λεγόμενο «Αριστοτελικό μοντέλο» του (γεωκεντρικού) σύμπαντος. 

 Η, από τον Εμπεδοκλή, θεωρία των «4 στερεών σωμάτων» θα διατηρηθεί σε ισχύ άλλους δύο αιώνες, δηλ. ως τις αρχές του 19ου αι., ότε εργασίες του Τζων Ντάλτον ξαναφέρνουν στο προσκήνιο την (σύγχρονη) ατομική θεωρία.

 Η «Αιτιοκρατία» στα φυσικά φαινόμενα θα αντέξει ως τις ημέρες μας, όμως μετά το 1927,  με την  Κβαντομηχανική, στον μικρόκοσμο  εγκαταστάθηκε η στατιστική πιθανολογία αντί αυτής. 

Ως απαρχή της σύγχρονης επιστήμης οι φυσικοί τοποθετούν στο έτος 1543, χρονιά που εκδόθηκαν δύο σημαντικά βιβλία:

α) Νικολάου Κοπέρνικου: «Περί των περιφορών των ουράνιων σφαιρών, βιβλία 6 / De Revolutionibus Orbium Coelestium Libri VI».

β) Ανδρέα Βεσάλιου: «Περί της δομής του ανθρώπινου σώματος βιβλία 7 / De humani corporis fabrica libri septem».

 

       Την πρωτοποριακή και μεγάλη συμβολή της Επικούρειας φιλοσοφίας (Γνωσιολογία, Φυσική, Ηθική) στις σύγχρονες επιστήμες αναδεικνύουμε σε άλλα κεφάλαια του παρόντος άρθρου (“ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΥΡΕΙΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ”), καθώς και σε άλλα άρθρα μας (“Αιτιοκρατία”, “Θεωρίες της Επικούρειας φιλοσοφίας - πρόδρομοι σύγχρονων θεωριών της Φυσικής” κ.ά.).  

Η μέθοδος του Πλάτωνα στα Μαθηματικά περιγράφεται αυτά να ξεκινούν από “Πρώτες αρχές” τις Υποθέσεις (δηλ. αναπόδεικτες προτάσεις θεωρούμενες εγνωσμένα αληθείς) και να οδηγούνται με λογική συνέπεια σ’ αυτό που έβαλαν σκοπό να αποδείξουν (το “όπερ έδει δείξαι”), διαγράφοντας -προφανώς- μια πορεία κυκλική, εφ' όσον αφετηρία και τερματισμός συμπίπτουν.  Η μέθοδος αυτή στα μαθηματικά καλείται (είναι) «Απαγωγική».

Ο ίδιος ο Πλάτωνας δεν υπήρξε ενεργός μαθηματικός, παρουσιάζεται ωστόσο ως “επιστάτης” ή “αρχιτέκτων” των μαθηματικών. Πραγματικά, όλοι σχεδόν οι γνωστοί μαθηματικοί του 4ου π.Χ. αι. εμφανίζονται να συνδέονται στενά μαζί του, καθώς και με τη σχολή του, την Ακαδημία.

Και ο Επικούρειος φιλόσοφος Φιλόδημος (Ηράκλειον Κάτω Ιταλίας, 1ος αι. π.Χ.) στην Ιστορία της Ακαδημίας γράφει για την μεγάλη ανάπτυξη των μαθηματικών την εποχή του Πλάτωνα, με τον ίδιο «αρχιτεκτονούντα και προβλήματα δίδοντα» (σε μαθηματικούς), οι οποίοι με προθυμία τα ερευνούσαν».  

Τα Μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, προχωρούν μόνον καθοδικά (κατά την «απαγωγική μέθοδο)», δηλ. από τις υποθέσεις (πρώτες αρχές) προς το τέλος. Αυτές, οι πρώτες αρχές, είναι μεν αυταπόδεικτες (δεν χρήζουν άλλης επιβεβαίωσης), αλλά αυτό ισχύει μόνον για τους μαθηματικούς.

Ο φιλόσοφος - και μόνον αυτός -  καθορίζει ότι αυτές οι αρχές των μαθηματικών είναι ισχυρισμοί που δεν έχουν υποβληθεί σε εξέταση, και η αλήθεια των οποίων πρέπει να δειχθεί. Και αυτό συνιστά ένα μη θεραπεύσιμο μειονέκτημα των Μαθηματικών, που ούτε η Διαλεκτική μπορεί να θεραπεύσει!

Έτσι, κατά τον Πλάτωνα, τα Μαθηματικά, που, ως ομολογεί, οδηγούν από τα φθαρτά (την γένεση) στην αλήθεια και την ουσία, από μόνα τους αδυνατούν να παράσχουν τέλεια γνώση, δίδουν μόνο υποθετική γνώση.

Πιο σωστά, μόνον αν αναγκάζουν την ψυχή να ατενίζει την ουσία είναι κατάλληλο μάθημα, αν αναγκάζουν την ψυχή να θεάται την γένεση δεν είναι κατάλληλο μάθημα. («Πολιτεία» βιβλίο Ζ΄,9, 527e).

Μόνον η Διαλεκτική προχωρά στην “ανυπόθετη (πρώτη) αρχή” και επιτυγχάνει να φτάσει στην τέλεια γνώση («Πολιτεία» Ζ’ 533c1-8).

Στις “Υποθέσεις” των μαθηματικών, από τις οποίες αυτά δεν γίνεται να ξεφύγουν, ο Πλάτων αντιτάσσει την “Ανυπόθετο αρχή”, την ανώτατη στην ιεραρχία των ειδών Ιδέα, που δεν ξεχωρίζει καθόλου εύκολα (αν δεν ταυτίζεται απολύτως) από την Ιδέα του Αγαθού, του Όντος κλπ. και που άλλοι φιλόσοφοι ονομάζουν Νου, Φύση, Θεό κ.ά., ή περνώντας στη μεταφυσική (θρησκείες) αποκτά διάφορες ονομασίες όπως τα πρόσωπα….

Η “Ανυπόθετος αρχή”, είναι η Αιτία της δημιουργίας και κινήσεως του κόσμου όλου, καθώς  και η Αιτία υπάρξεως όλων των άλλων Ιδεών…..

Οι “Ιδέες” (ή “Είδη”), ως γνωστόν, στον Πλάτωνα αποτελούν το βασικότερο σημείο της φιλοσοφίας του. Συνιστούν τα αρχέτυπα όλων των ορατών πραγματικοτήτων, τα οποία  ορατά πράγματα, δεν είναι άλλο παρά οι αντανακλάσεις αντίστοιχων Ιδεών…..

Η “Ανυπόθετος αρχή”, είναι αυταπόδεικτη (δεν μπορεί να αμφισβητηθεί) και έρχεται στη νόηση «εξαίφνης», ως αποκάλυψη! Βλ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ μας πιο κάτω με χωρίο από την Ζ΄ επιστολή του.

Ανάλογες απόψεις με τις πιο πάνω συναντάμε στους περισσότερους ιδεαλιστές φιλοσόφους πριν και μετά τον Πλάτωνα, και στον Αριστοτέλη. Στον Πλάτωνα βέβαια είναι πιο πλατιά και καθαρά διατυπωμένες….   

  

Τα Μαθηματικά, λοιπόν, κατά την αντίληψη του ιδρυτή  της σχολής της Ακαδημίας, αξίζουν ως  προπαιδεία για την Φιλοσοφία, επομένως είναι κατώτερα αυτής. Συνιστούν πάντως μια ουσιώδη προεισαγωγή στη Διαλεκτική. Τα Μαθηματικά αξιώματα πηγάζουν από τη Διαλεκτική  και αποτελούν μια καλή εκπαίδευση στην αφηρημένη νόηση και ένα καλό μέσο για την ανύψωση του πνεύματος στον κόσμο των Ιδεών. («Πολιτεία» Ζ΄ 521 - 527).

Ο Πλάτων, σχετίζοντας την (αληθινή) γνώση με το αμετάβλητο, το αέναο, τα τέλεια αντικείμενα και σχήματα, δεν ενδιαφέρετε για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, είτε για τις φυσικές επιστήμες. Η μαθηματική του  θεώρηση δεν συσχετιζόταν με την εμπειρική παρατήρηση.

«Κανένα πράγμα από τα αισθητά δεν περιέχει επιστήμη» («Πολιτεία» Ζ’ 10, 529e). Οι δε τέχνες, δεν αποτελούν πρότυπο για τη γνώση, έχουν θέση κατάταξης κατώτερη.

Την Αστρονομία ο Πλάτων έβλεπε ως μέσον «δια το κατιδείν ράον την του Αγαθού Ιδέαν», και παραβλέποντας κάθε πρακτική ωφελιμότητα της, προέτρεπε τους αστρονόμους να μην ασχολούνται με τις παρατηρούμενες (φυσικές) κινήσεις των αστεριών, αλλά με τις “ιδεατές”, διότι δεν περιμένουμε να βρούμε την “αλήθεια” σ’ αυτές! («Πολιτεία» Ζ΄ 529d).

Ο Ησίοδος (8ος αι. π.Χ.) στο διδακτικό του έπος «Έργα και Ημέραι» εκθείασε την  αστρονομία, δίδοντας χρήσιμες συμβουλές στους αγρότες και στους ναυτικούς, με βάση τις κινήσεις των αστέρων και των αστερισμών κατά εποχές. Με αντιλήψεις σαν τις Πλατωνικές η αστρονομία κατάντησε αστρολογία και έμεινε τέτοια για τους επομένους του Ησίοδου 25 αι.! Ακόμα και οι παμμέγιστοι Τ. Μπράχε και Γ. Κέπλερ (17ος αι. μ.Χ.) έβγαζαν τα προς το ζην φτιάχνοντας «Ωροσκόπια»!    

Μέσα σ’ αυτό το “Πλατωνικό κλίμα” δεν ευνοείται, και δεν έγινε, δυστυχώς, ανάπτυξη άλλων τομέων της μαθηματικής επιστήμης, όπως π.χ. σε τομείς συνδεόμενους με τις κατασκευές και την οικονομία. Κατέκρινε τους μαθηματικούς που χρησιμοποιούσαν “μηχανικές κατασκευές”. Μόνον ευθείες γραμμές και κύκλοι ήταν αποδεκτά…….

Ακόμα, οι κωνικές τομές (έλλειψη – υπερβολή- παραβολή), που ο Απολλώνιος (περ 260-200 π.Χ.) εφηύρε, συμπληρώνοντας την Ευκλείδεια γεωμετρία, είναι “μηχανικές καμπύλες” (δηλ. μη κατασκευάσιμες με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη), παρ’ όλο που με τα όργανα αυτά εύκολα κατασκευάζουμε όσα σημεία (πεπερασμένου πλήθους) θέλουμε, που να ανήκουν σ’ αυτές τις καμπύλες.      

Όλες, γενικά, οι κατασκευές με άλλα όργανα…. για κάποιο μυστικό λόγο, γνωστό μόνο στον  “θεό γεωμέτρη”! θεωρήθηκαν χυδαίες και απαράδεκτες. Και οι Πλατωνικές αυτές ιδέες, λόγω της υψηλής επήρειας που διέθεταν, έχουν μεγάλο μερίδιο ευθύνης για το εντυπωσιακά χαμηλό επίπεδο της τεχνολογίας στην αρχαιότητα.…..

Ο  Πλάτων υπήρξε ο φιλόσοφος που όσο κανείς άλλος επηρέασε τα πεπρωμένα της ανθρωπότητας…..με το Αριστοτέλη να ακολουθεί “κατά πόδας”!

Σ’ αυτό το σημείο, οφείλουμε μια μνεία-έπαινο για τους προγόνους μας μηχανικούς,  που με τις επινοήσεις και τον μόχθο τους,  δημιούργησαν θαυμαστές κατασκευές, πολύτιμες στη πρόοδο των κοινωνιών.  

Από αυτούς, δηλ.  τους εφευρέτες - μηχανικούς της αρχαιότητας, ας αναφερθούν οι πιο ονομαστοί: Αρχιμήδης ο Συρακούσιος, Κτησίβιος ο Αλεξανδρεύς, Φίλων ο Βυζάντιος και Ήρων ο Αλεξανδρεύς.  

Την αποτίμηση του Πλάτωνα για τα Μαθηματικά μπορούμε να κατανοήσουμε καλλίτερα, αν τα Μαθηματικά τα τοποθετήσουμε στο σχήμα, όπου ο Πλάτων περιγράφει την πορεία της γνώσης από τα αισθητά (ορώμενα) πράγματα προς τα ιδεατά (νοούμενα). Ουσιαστικά, αυτό το σχήμα συνιστά την γνωστική – μυητική λειτουργία της Διαλεκτικής του.

Σ’ αυτή τη σχηματοποίηση, και από κάτω προς τα πάνω πηγαίνοντας, ο Πλάτων διακρίνει 4 στάδια:

1^ο) Εικόνες,

2^ο) Ορατά,

3^ο) Γενικές έννοιες, και

4^ο) Καθαρός λόγος  με αποκορύφωση την «Ιδέα του Αγαθού».  

Στον κόσμο των ορωμένων ανήκουν τα δύο πρώτα στάδια, στον κόσμο των νοουμένων τα δύο τελευταία.

Σε κάθε ένα από τα πιο πάνω 4 στάδια ο Πλάτωνας αντιστοιχεί 4 βαθμίδες γνώσης, οι οποίες είναι κατά (την πιο πάνω) σειρά:

1^ο) Εικασία,  

2^ο) Πίστη,  

3^ο) Διάνοια,  

4^ο) Νόηση ή Επιστήμη.

Οι δύο πρώτες βαθμίδες συνιστούν "Δόξα", οι δυο ανώτερες "Νόηση".

        ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στην Ζ΄ (7η) επιστολή του ο Πλάτωνας μας παρουσιάζει μια ενδιαφέρουσα θεωρία για το πώς στον άνθρωπο που διαθέτει μια ξεχωριστή θεϊκή φύση και έναν άξιο οδηγό, μετά την εξαντλητική ανοδική πορεία του απ’ όλα τα στάδια της γνώσης, και αφού έχει φτάσει στην ανώτατη βαθμίδα της, θα του αποκαλυφθεί η υπέρτατη “γνώση (ή αλήθεια)”….. «όπως το πυρ ξεπηδά και άξαφνα ανάβει φως μέσα στην ψυχή του….».

          Γράφει λοιπόν ο Πλάτων ότι για την αληθινή γνώση, αυτήν που «ἀληθῶς ἐστιν ὄν», δεν μπορεί να γίνει λόγος «…..διότι δεν εκφράζεται με λόγια σαν τα άλλα μαθήματα, αλλά σαν αποτέλεσμα της αδιάκοπης επεξεργασίας του θέματος και επικοινωνία με αυτό, όπως το πυρ ξεπηδά και άξαφνα ανάβει φως μέσα στην ψυχή και τρέφει το ίδιο τον εαυτό του».

         «…… ῥητὸν γὰρ οὐδαμῶς ἐστιν ὡς ἄλλα μαθήματα, ἀλλ᾽ ἐκ πολλῆς συνουσίας γιγνομένης περὶ τὸ πρᾶγμα αὐτὸ καὶ τοῦ συζῆν ἐξαίφνης, οἷον ἀπὸ πυρὸς πηδήσαντος ἐξαφθὲν φῶς, ἐν τῇ ψυχῇ γενόμενον αὐτὸ ἑαυτὸ ἤδη τρέφει»

       Όσον αφορά δε τον ίδιο λέει, ως έχει διακηρύξει, για τα σπουδαιότερα θέματα δεν έγραψε και δεν θα γράψει ποτέ, γιατί αυτά δεν υπάρχει τρόπος να διατυπωθούνε.

        Σε άλλο σημείο, ο Πλάτων  θεωρεί πως την αλήθεια λίγοι έχουν την δυνατότητα να την βρούνε μόνοι τους, με μικρή βοήθεια. Από τους υπόλοιπους, άλλοι γεμίζουν τον εαυτό τους  με αδικαιολόγητη και λαθεμένη ικανοποίηση, και άλλοι με φαντασμένη και κούφια ελπίδα, πως έχουν τάχα μάθει κάτι σπουδαίο.

      Πιστεύει ακόμα ο Πλάτων ότι η φλόγα της αληθείας για να αναπηδήσει (αποκαλυφθεί)  χρειάζεται μια ξεχωριστή θεϊκή φύση και ένας άξιος οδηγός ο οποίος να δείχνει στο μαθητή τον δρόμο ως το τελικό στάδιο της μύησης, οπότε ο μαθητής μπορεί πια να πορευτεί δίχως τη βοήθεια του («Πλάτωνος Ζ’ επιστολή»).

      Φανερό, ότι στην 1η βαθμίδα γνώσης (εικασία) ανήκουν οι “σκιές (εικόνες)” του “μύθου του σπηλαίου”, ενώ η 2η βαθμίδα (πίστη) αντιστοιχεί στη γνώση των ιδίων των αισθητών πραγμάτων (όχι των σκιών τους).

Στην 3η βαθμίδα (διάνοια) η γνώση περνά στον κόσμο των νοουμένων (νοητό), όμως δεν έχει ακόμα απαλλαγεί από αυτόν των ορωμένων (ορατό).

Στην 4η βέβαια και τελευταία βαθμίδα γνώσης (νόηση / επιστήμη) όλα έχουν ξεκαθαρίσει…… και η ψυχή μας έχει οδηγηθεί και μεταστραφεί «επί την του όντος θέαν ή περί το εν μάθησις» ! («Πολιτεία» Ζ΄ 525 Ε). 

 

Ο Πλάτων, άρα, τοποθετεί τα Μαθηματικά στην 3^η βαθμίδα γνώσης («διάνοια»), και είναι  διφυή, αφού  μετέχουν και της δόξης και της νόησης.

      

      Και ο Αριστοτέλης ρητά επιβεβαιώνει την πιο πάνω διαπίστωση (για την θέση των μαθηματικών στο Πλατωνικό σύστημα των Ιδεών) γράφοντας:

 «Έτι δε παρά τα αισθητά και τα είδη τα μαθηματικά των πραγμάτων είναι φησί μεταξύ, διαφέροντα των μεν αισθητών τω αΐδια και ακίνητα είναι, των δε ειδών τω τα μεν πόλλ’ άττα όμοια είναι το δε είδος αυτό εν έκαστον μόνον»… (Μετά τα Φυσικά, 987b,16-21)

Σε μετάφραση μας:

«Ακόμα, (ο Πλάτων) είπε ότι: Στο αναμεταξύ (δηλ. στο μεταίχμιο) των αισθητών και των Ειδών (Ιδεών) ευρίσκονται τα μαθηματικά αντικείμενα.  Διαφέρουν δε, από μεν τα αισθητά στο ότι αυτά (δηλ. τα μαθηματικά αντικείμενα) είναι αιώνια και ακίνητα, από δε τα Είδη (τις Ιδέες) στο ότι υπάρχουν πολλά όμοια (μαθηματικά αντικείμενα), ενώ το κάθε Είδος (η κάθε Ιδέα) είναι ένα (μία) μόνον».

Ασφαλώς, δεν μπορούν τα μαθηματικά να τοποθετηθούν υψηλότερα, δηλ. στην 4η τελευταία βαθμίδα γνώσης (Νόηση/Επιστήμη) της Πλατωνικής ιεράρχησης, αφού η έρευνα τους ξεκινά από υποθέσεις οι οποίες δεν ανάγονται στην “αρχή”, το “έν”, το “αγαθό”, αλλά προς ένα συμπέρασμα στο τέλος (“επί τελευτήν”), το οποίον δεν μπορεί να βγει ψηλότερα από τις υποθέσεις που τέθηκαν!

  

Έτσι, για πολλούς ερευνητές, επηρεασμένους από τέτοιες αντιλήψεις, τα Μαθηματικά έγιναν ένα “τρελό παιχνίδι”, που όφειλε να παιχτεί σύμφωνα με τους (τυπικούς) κανόνες που έθεσε η διάνοια του ιδρυτή της Ακαδημίας.

Όμως, η αντίληψη αυτή κράτησε, για δυο χιλιετίες, υπανάπτυκτη την όλη τεχνική (εφαρμοσμένη) πρόοδο των επιστημών.

Αρκεί μόνο να αναφερθεί ότι 2 χιλιετίες (για την ακρίβεια: 1985 έτη) χωρίζουν τον θάνατο του Πλάτωνα από τη δημοσίευση της Αναλυτικής Γεωμετρίας του Καρτέσιου, η οποία ουσιαστικά απάλλαξε τη Γεωμετρία από τον “Πλατωνικό σιδηροκορσέ” της! (E. T. BELL “Οι Μαθηματικοί”, σελ. 40).        

Συμπερασματικά:

Τα Μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, αποτελούν “άσκηση” και “θεραπαινίδα” της φιλοσοφίας του. Όμως, κάτω από σοβαρές μετεξελίξεις * στην πορεία του χρόνου, συλλήβδην όλη η φιλοσοφία: Πλατωνική, Αριστοτελική, Στωική, νέο-Πυθαγόρεια, πλην βεβαίως της Επικούρειας, δεν θα αργήσει να καταστεί “θεραπαινίδα” της θεολογίας, η οποία θεολογία -πανηγυρικά, στον Μεσαίωνα- θα αναγορευθεί ως η  “κορυφαία” των επιστημών. 

 * Οι αντινομίες και τα αδιέξοδα, στα οποία οδηγούσαν οι Παρμενιδο-Πλατωνικές αντιλήψεις, όπως για το ακίνητο και αμετάβλητο Όν, για το μη Όν, για την ύπαρξη δύο απόλυτα ξέχωρων κόσμων (του Νοητού των Ιδεών και του ορατού των αισθητών) κ.ά., ήδη φάνηκαν, αναγνωρίστηκαν, καταγράφηκαν ακόμα και από τον ίδιο τον Πλάτωνα στα ώριμα–τελευταία έργα του: «Παρμενίδης», «Θεαίτητος», «Σοφιστής», «Πολιτικός» και «Φίληβος».

Στα έργα αυτά - προδρομικά της Αριστοτελικής λογικής, ασκείται κριτική των Πλατωνικών Ιδεών  από τον ίδιο τον Πλάτωνα, μάλιστα με το ίδιο το όπλο του, την Διαλεκτική!    

 

Και αυτή, η εξόχως δυσμενής εξέλιξη της πορείας της ανθρώπινης σκέψης, θα κρατήσει σε ομηρία και στασιμότητα την ανθρωπότητα για σχεδόν 20 αιώνες……

 Σύμφωνα με τον B. Farrington: “Όταν η σύγχρονη επιστήμη εμφανίστηκε τον 16^ο αι. ξεκίνησε απ’ εκεί που την είχαν αφήσει οι Έλληνες….. Οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι βρισκόντουσαν στο κατώφλι του σύγχρονου κόσμου. Γιατί δεν άνοιξαν την πόρτα;”  

               O δε Α. Whitehead παρατηρεί ότι το 1500 η Ευρώπη γνώριζε λιγότερα, απ’ όσα ο Αρχιμήδης που πέθανε 212 π.Χ. (Α. Καίσλερ: «Οι υπνοβάτες», σελ. 83).

    Και ας μη μας διαφεύγει ότι ο Αρχιμήδης, ο μέγας μαθηματικός, φυσικός και εφευρέτης, προλαβαίνοντας τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς κατά σχεδόν 2.000 χρόνια, είχε (σχεδόν) επινοήσει τον Ολοκληρωτικό Λογισμό, που συνιστά την μετεξέλιξη της “μεθόδου της εξάντλησης”, την οποίαν ο Αρχιμήδης εφάρμοζε στην εύρεση εμβαδών. Επίσης, σε ένα από τα προβλήματα του, προέβλεψε την μεθοδολογία του Διαφορικού Λογισμού…..

     Ο Α. Whitehead μαζί με τον Β. Russel είναι συγγραφείς των μοντέρνων “Principia Mathematica”, ένα τρίτομο μνημειώδες έργο στο χώρο της Μαθηματικής Λογικής. Εκεί, τα Μαθηματικά αναφέρονται ως η ωριμότητα της Λογικής, η οποία Λογική, γενικά, είναι η ουσία της φιλοσοφίας…

      Συμπληρωματικά - ανακεφαλαιωτικά  στο κεφάλαιο αυτό της πραγματείας μας, ας αναφερθούμε και σε μερικά χωρία που σταχυολογήσαμε από το έργο του A. E. Taylor, Βρεττανού ιδεαλιστή φιλοσόφου, από τους πιο βαθείς γνώστες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, πάνω βέβαια στις κυριότερες Πλατωνικές αντιλήψεις περί της μαθηματικής επιστήμης:

      «Προϋποτίθεται ως πασίγνωστο, οι μαθηματικές επιστήμες μελετούν ιδανικά σχήματα. Τα αντικείμενα που γνωρίζουμε με τα μαθηματικά είναι “Είδη”, αν και ο μαθηματικός μας οδηγεί σ’ αυτά ξεκινώντας από τα αισθητά “διαγράμματα”, που χρησιμοποιεί για να βοηθήσει τη φαντασία μας.

      Ο γεωμέτρης, ή ο θεωρητικός των αριθμών, βασίζει ολόκληρη τη συλλογιστική του σε ορισμένα “αξιώματα” (“υποθέσεις”) για τα οποία “δεν παρέχει εξήγηση” (“λόγον”). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν δεν μπορούν να χαρακτηριστούν “γνώση”, εφ’ όσον παραμένουν ανεξέταστες οι παραδοχές από τις οποίες παράγονται.  

      Προκύπτει, λοιπόν, η δυνατότητα και η ανάγκη μιας ανώτερης και αυστηρότερης επιστήμης της “Διαλεκτικής”.

           Η μέθοδος των μαθηματικών, για  να εξηγηθεί, κρίνεται και αντιπαραβάλλεται με την “Διαλεκτική”, διότι το επιστημονικό ιδεώδες υλοποιείται αποκλειστικά με την δεύτερη».

     Έτσι, πέραν από τις αναγνωρισμένες μαθηματικές σπουδές, υπάρχει μία ακόμα ανώτερη επιστήμη, η “Διαλεκτική”, που ο ρόλος της είναι να οδηγεί άμεσα στη θέαση του “Καλού (ή αγαθού)” αυτού».

     Η ανάγκη, να (δημιουργηθεί ως μεθοδολογία και να) τεθεί η “Διαλεκτική” ως κορωνίδα όλων των άλλων επιστημών (“μαθημάτων”) ενδέχεται να είναι απόρροια της “απόδειξης” του “διαλεκτικού” Ζήνωνα ότι τα αξιώματα της μαθηματικής επιστήμης, όπως την ασκούσαν ως τότε οι Πυθαγόρειοι, είναι αντιφατικά, που υπήρξε το συγκλονιστικότερο επιστημονικό γεγονός του 5ου αι.

     Για να διασωθεί η μαθηματική επιστήμη από τα επιχειρήματα του Ζήνωνα, ολόκληρο το σύστημα χρειάστηκε αναδιάρθρωση, η οποία πραγματοποιήθηκε τον 4ο αι. και βρίσκεται στα “Στοιχεία του Ευκλείδη”. Η αναθεώρηση των παραδεδεγμένων μαθηματικών αρχών, είναι τελείως βέβαιο, αποτέλεσε ένα από τα κύρια προβλήματα που απασχόλησαν την Πλατωνική σχολή, ενώ οι αναμορφωτές (Εύδοξος, Θεαίτητος κ.ά.) υπήρξαν, απ’ όσο ξέρουμε, σύντροφοι του Πλάτωνα στην Ακαδημία.       

 

      Για κάθε “καθολικό” κατηγόρημα, που μπορεί να βεβαιωθεί ότι ανταποκρίνεται σε διάφορα λογικά υποκείμενα, υπάρχει μια αντίστοιχη “Ιδέα”. Μια συγκεκριμένη υπέρτατη “Ιδέα”, το “Καλό (ή αγαθό)” ή “Είδος του Καλού”, κατέχοντας την ανώτερη θέση μεταξύ των Ιδεών, αποτελεί το ύψιστο αντικείμενο μελέτης του φιλοσόφου.

       “Η Ιδέα του Καλού”, για τα αντικείμενα της γνώσης και την ίδια τη γνώση, είναι ό,τι ο ήλιος για τα ορατά αντικείμενα και την όραση.  Ο Σωκράτης στους Πλατωνικούς διαλόγους αδυνατεί να περιγράψει το αγαθό” αυτό, το οποίον χωρίς να είναι ούτε “αληθής υπόσταση” (“αλήθεια”) ούτε “ουσία” το ίδιο, βρίσκεται πέραν και από τα δύο, αποτελώντας την πηγή της υπόστασης και της ουσίας κάθε πράγματος.         

(A. E. Taylor: “ΠΛΑΤΩΝ”, σελ. 334-344, διάσπαρτα)

5)  Ο Ευκλείδης   

Στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, αρχές 3ου π.Χ. αι., περίοδος βασιλείας Πτολεμαίου Α΄ του Σωτήρα (323-283 π.Χ.), έλαμπε το άστρο του μαθηματικού Ευκλείδη, του αποκληθέντος “πατέρα” της Γεωμετρίας, και η εμβέλεια της ακτινοβολίας του έφθανε ασφαλώς μέχρι και την Αθήνα, το μεγαλύτερο κέντρο του παγκόσμιου πολιτισμού.  

  Ο Ευκλείδης (325-270 π.Χ.) είχε σπουδάσει στην Αθήνα, ήταν μαθητής των μαθητών του Πλάτωνα. Κατέκτησε στην ιστορία των Μαθηματικών πρωτεύουσα θέση, καθώς συγκέντρωσε, συστηματοποίησε και εξέδωσε όλες τις μέχρι τότε γνωστές γεωμετρικές γνώσεις και προτάσεις  των παλαιότερων πιο αξιόλογων μαθηματικών, όπως των Θαλή, Πυθαγόρα, Θεαίτητου,  Λεωδάμαντος του Θάσιου και Εύδοξου του Κνίδιου.  

Στο βιβλίο του ο Ευκλείδης διασώζει επίσης και σημαντικές πληροφορίες, που πιθανώς άντλησε από το χαμένο έργο, του 3ου π.Χ. αι., “Ιστορία Γεωμετρίας” του πρώτου ιστορικού της γεωμετρίας και Περιπατητικού (υπήρξε μαθητής του Αριστοτέλη)  Εύδημου του Ρόδιου (350-290 π.Χ.).

 Μεγάλο μέρος, λοιπόν, του έργου του Ευκλείδη οφείλεται στους προγενέστερους αυτού μαθηματικούς της Ελληνικής αρχαιότητας, οι περισσότεροι των οποίων συνδέονταν με την Πλατωνική Ακαδημία. Όμως και το ίδιον του Ευκλείδη έργο έχει πολύ μεγάλη αξία.  Καινοτόμος και αναμορφωτής, πολλών γνωστών μαθηματικών θεωρημάτων μετέβαλε τις διατυπώσεις και αποδείξεις, ή προσέφερε νέες, γενικά βελτίωσε και συστηματοποίησε το μέχρι την εποχή του όλο μαθηματικό έργο .

  Στην Αλεξάνδρεια ο Ευκλείδης προσκλήθηκε να εγκατασταθεί από τον Πτολεμαίο, μετά από σύσταση του Δημήτριου του Φαληρέα. Γρήγορα ο Ευκλείδης απέκτησε φήμη, δημιούργησε σχολή, μαθητές του υπήρξαν οι διασημότεροι μεταγενέστεροι μαθηματικοί, μηχανικοί και αστρονόμοι. Η Ευκλείδεια γεωμετρία διδάσκεται μέχρι και σήμερα, αποτελεί τη βάση της διδασκαλίας των μαθηματικών στην μέση εκπαίδευση.

  Το έργο που έκανε διάσημο τον Ευκλείδη είναι "Τα Στοιχεία", μνημειώδες, ογκώδες, με στέρεη επιστημονική δομή, μεθοδικό, είναι βασισμένο στη Λογική.  Θεωρείται - σαφώς -  έργο της Πλατωνικής σχολής. Ο μέγας Γερμανός φιλόλογος U. Von Wilamowitz - Moellendorff (1848-1931) μετά από μακροχρόνιες μελέτες έγραψε το 1929 ότι τα “Στοιχεία” του Ευκλείδη προέρχονται από τη σχολή του Πλάτωνα.

Τα “Στοιχεία” του Ευκλείδη δεν είναι το πρώτο συστηματικό βιβλίο γεωμετρίας της αρχαιότητας. Έχουμε τουλάχιστον μαρτυρία για τουλάχιστον τρία προγενέστερα “Στοιχεία” που αποδίδονται στους μαθηματικούς:  Ιπποκράτη το Χίο, το σημαντικότερο μαθηματικό του 5^ου π. χ. αι. (μεταξύ άλλων επιτευγμάτων του, ο τετραγωνισμός των μηνίσκων, η αναγωγή του Δηλίου προβλήματος σ’ αυτό της εύρεσης δύο μέσων αναλόγων μεταξύ δύο αριθμών, καθώς και μια νέα γεωμετρική μέθοδο που χρησιμοποίησε, αυτήν της «απαγωγής»), τον Λέοντα και το Θεύδιο τον Μάγνητα.

Τα “Στοιχεία” του Ευκλείδη, κατά πολύ ανώτερα από κάθε άλλη προηγούμενη σχετική εργασία, καθιερώθηκαν αμέσως σαν τα μοναδικά πλέον “Στοιχεία” Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης έκτοτε προσονομάζεται και “Στοιχειωτής”.  Μεταφράστηκαν, πρώτα τον 9ο μ.Χ. αι. στην αραβική γλώσσα, και μόλις το 12^ο αι. στη λατινική. Η πρώτη τυπωμένη έκδοση τους (στα Λατινικά) έγινε στη Βενετία το 1482.  Παγκοσμίως, οι εκδόσεις των μόνον της Βίβλου υπολείπονται, ενώ ένας τεράστιος όγκος κριτικών μελετών, σχολίων και υπομνηματισμών τα συνοδεύουν.

 Τα “Στοιχεία” του Ευκλείδη, μαζί με τα “Κωνικά” του Απολλωνίου, τα “Αριθμητικά” του Διόφαντου, τις “Πραγματείες” του Αρχιμήδη, κ. ά. βιβλία ασφαλώς, συνιστούν ανυπολόγιστης αξίας κληρονομιά  των Ελλήνων στην ανθρωπότητα. 

"Τα Στοιχεία" διαιρούνται σε 13 βιβλία. Τα έξι πρώτα αναφέρονται στην επιπεδομετρία, από το 7^ο έως και το 10^ο αναφέρονται στην αριθμητική και τη θεωρία των αριθμών, ενώ τα τρία τελευταία στη στερεομετρία.  Συνολικά στα 13 βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη περιέχονται:

- 121   Ορισμοί (ή Όροι) Definitions ,

- 5       Αιτήματα Postulates,

- 9       Κοινές Έννοιες ή Αξιώματα Common Notions  και 

            - 465  Προτάσεις (ή θεωρήματα) Propositions.

                 Μόνον στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του ΕΥΚΛΕΙΔΗ αναφέρονται οι πιο κάτω  23 Ορισμοί,  5 Αιτήματα,  9 Κοινές Έννοιες (Αξιώματα)……..

 Ορισμοί (Όροι):  I. Σημείο είναι ό,τι δεν έχει μέρος. II. Γραμμή είναι μήκος δίχως πλάτος. III. Τα πέρατα της γραμμής είναι σημεία.  IV. Ευθεία γραμμή είναι αυτή, η οποία κείται εξ ίσου ως προς τα σημεία της.  V. Επιφάνεια είναι ό,τι έχει μονάχα μήκος και πλάτος.  VI. Τα πέρατα της επιφάνειας είναι γραμμές. VII. Επίπεδη επιφάνεια είναι αυτή, η οποία κείται εξ ίσου ως προς τις ευθείες της. VIII. Επίπεδη γωνία είναι η κλίση, της μιας προς την άλλη, δύο γραμμών του ίδιου επιπέδου, οι οποίες συναντιούνται και δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. IX.  Όταν οι γραμμές που περιέχουν την γωνία είναι ευθείες, τότε η γωνία καλείται ευθύγραμμη.  X.  Όταν μια ευθεία, αφού σταθεί πάνω σε άλλη ευθεία, καταστήσει ίσες τις εφ’ εξής γωνίες, τότε η καθεμιά από τις ίσες γωνίες είναι ορθή και η πρώτη ευθεία λέγεται κάθετη στη δεύτερη. XI. Αμβλεία γωνία είναι η μεγαλύτερη της ορθής. XII. Οξεία είναι η μικρότερη της ορθής. XIII. Όριο είναι, εκεί που βρίσκεται το τέλος κάποιου. XIV. Σχήμα είναι αυτό που βρίσκεται μεταξύ κάποιου ή κάποιων ορίων. XV. Κύκλος είναι επίπεδο σχήμα, το οποίο περικλείνεται από μια γραμμή (περιφέρεια), έτσι ώστε όλες οι ευθείες, που προσπίπτουν προς αυτή (την περιφέρεια) και αρχίζουν από ένα σημείο, από αυτά που βρίσκονται μέσα στο σχήμα, να είναι ίσες μεταξύ τους. XVI. Κέντρο του κύκλου είναι ένα σημείο. XVII. Διάμετρος του κύκλου είναι κάποια ευθεία η οποία περνάει από το κέντρο και τελειώνει στο καθένα από τα άλλα μέρη της περιφέρειας του κύκλου, η οποία και διχοτομεί τον κύκλο. XVIII.  Ημικύκλιο είναι το σχήμα που περιέχεται μεταξύ της διαμέτρου και της περιφέρειας που αρχίζει και τελειώνει σε αυτή, κέντρο του ημικυκλίου είναι το ίδιο, το οποίο είναι και του κύκλου. XIX. Σχήματα ευθύγραμμα είναι αυτά που περιέχονται ανάμεσα σε ευθείες, τρίπλευρα είναι τα περιεχόμενα μεταξύ τριών ευθειών, τετράπλευρα είναι τα περιεχόμενα μεταξύ τεσσάρων ευθειών, πολύπλευρα είναι τα περιεχόμενα σε περισσότερες από τέσσερις ευθείες. XX. Από τα τρίπλευρα σχήματα, ισόπλευρο τρίγωνο είναι αυτό που έχει τρεις ίσες πλευρές, ισοσκελές είναι αυτό που έχει ίσες μόνο δύο πλευρές και σκαληνό είναι αυτό που έχει τρεις άνισες πλευρές. XXI. Από τα τρίπλευρα σχήματα ορθογώνιο τρίγωνο είναι εκείνο που έχει ορθή γωνία, αμβλυγώνιο είναι εκείνο που έχει αμβλεία γωνία και οξυγώνιο είναι εκείνο που έχει και τις τρεις γωνίες οξείες. XXII. Από τα τετράπλευρα σχήματα, τετράγωνο είναι αυτό που είναι ισόπλευρο και ορθογώνιο, ετερόμηκες είναι αυτό που είναι ορθογώνιο και δεν έχει ίσες πλευρές, ρόμβος είναι αυτό που είναι ισόπλευρο αλλά όχι ορθογώνιο, ρομβοειδές είναι αυτό που έχει τις απέναντι πλευρές και γωνίες ίσες μεταξύ τους και αυτό που ούτε ισόπλευρο είναι ούτε ορθογώνιο ονομάζεται τετράπλευρο τραπέζιο. XXIII. Παράλληλες ευθείες είναι εκείνες, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόμενες επ’ άπειρον και από τα δύο μέρη, δεν συναντά η μία την άλλη από κανένα μέρος.

 Αιτήματα:  I.  Ζητείται να γίνει παραδεκτό ότι από το οποιοδήποτε σημείο στο οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή. II. Και πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά τρόπο συνεχή. III.  Και με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα, γράφεται κύκλος.  IV. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. V. Και αν ευθεία, η οποία συναντά δύο ευθείες, σχηματίζει δύο εσωτερικές και προς το ίδιο μέρος γωνίες μικρότερες (κατά το άθροισμα) των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ’ άπειρον συναντιούνται σε εκείνα τα μέρη τους, όπου βρίσκονται οι γωνίες οι μικρότερες των δύο ορθών.

 Κοινές Έννοιες (Αξιώματα): I. Αυτά που είναι ίσα προς το ίδιο είναι και ίσα μεταξύ τους. II. Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα οι ολότητες είναι ίσες. III. Και αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, αυτά που υπολείπονται είναι ίσα. ΙV. Εάν σε άνισες ποσότητες προστεθούν ίσες ποσότητες προκύπτουν άνισες ποσότητες. V. Οι ποσότητες που είναι το διπλάσιο ίσων ποσοτήτων είναι ίσες. VΙ. Τα μισά ίσων ποσοτήτων είναι ίσα.  VΙΙ. Αυτά που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο είναι ίσα μεταξύ τους. VIII. Το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος.

Τα ανωτέρω αποτελούν τα δεδομένα του Ευκλείδη στο πρώτο του βιβλίο (Βιβλ. Ι). Από αυτά τα δεδομένα και μόνον συνήγαγε 47 προτάσεις αυξανόμενης πολυπλοκότητας που καταλήγουν στην απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος και του αντιστρόφου του (Πρόταση 48^η, η τελευταία του πρώτου βιβλίου των στοιχείων). 

   Συνολικά, και στα 13 βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη (ως πιο πάνω αναφέρουμε), περιέρχονται:  121 Ορισμοί (Όροι),  5 Αιτήματα,  9 Κοινές Έννοιες (Αξιώματα)  και  465 προτάσεις (θεωρήματα)!

       Στα “Στοιχεία” αναπτύσσονται όλες οι αποδεικτικές μέθοδοι, όμως για πρώτη φορά, η μαθηματική επιστήμη θεμελιώνεται κατά κύριο λόγο “αξιωματικά”, δηλ. επί “αξιωμάτων”, οι οποίες είναι προτάσεις που  - αναπόδειχτα - δεχόμαστε σαν προφανώς αληθείς.  Εν συνεχεία, επιχειρείται και κατασκευάζεται ένα σχήμα στήριξης, προκειμένου να προκύψει η απόδειξη της αρχικής πρότασης…… Αν τα καταφέρουμε, πανευτυχείς!, στο τέλος σημειώνουμε: “Όπερ έδει δείξαι”, ή “Όπερ άτοπον” αν έχουμε ακολουθήσει τη διαδικασία της “εις άτοπον απαγωγής”.

  Οι Επικούρειοι,  πέραν του ότι ο Ευκλείδης σε μεγάλο μέρος του έργου του, όπως είπαμε, επαναδιατυπώνει πρόδηλες και γνωστές προτάσεις, που προηγούμενοι απ’ αυτόν λαμπροί Έλληνες γεωμέτρες είχαν διατυπώσει και που δεν προσθέτουν νέες γνώσεις στις υπάρχουσες, εξέφρασαν και κάποιες συγκεκριμένες επιφυλάξεις πάνω στις αρχές της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Επίσης, και αυτή είναι κρίσιμη διαφορά, οι Επικούρειοι δεν αποδέχονταν ως προσήκουσα την “αξιωματική” συλλογιστική, που -όπως πιο πάνω είπαμε- ήταν κατά κύριο λόγο η Ευκλείδεια.

Αυτή, η “αξιωματική” μεθοδολογία και “Απαγωγική, ή παραγωγική, ή αφαιρετική” λεγομένη (deductive logic), ήταν παρόμοια με την φορμαλιστική Λογική του Αριστοτέλη, “Όργανον”, ως ονομάστηκε (και είχε περιγραφεί στα έργα του “Πρότερα αναλυτικά” και “Ύστερα αναλυτικά”).  Ο Αριστοτέλης ξεκινούσε τη σκέψη του από κάποιες αρχικές έννοιες, “θέσεις”, ως τις ονομάζει, και στηριζόταν σε “καθολικές αρχές”.

   Όπως είπαμε και προηγουμένως, οι Επικούρειοι για την έρευνα προέκριναν μέθοδο “φυσική”, όπου λαμβάνεται υπόψη μόνον ό,τι βασίζεται στην παρατήρηση με τις αισθήσεις  και ελέγχεται  με τον “Κανόνα”. Αυτή η μέθοδος, που οδηγεί σε γενικότερα συμπεράσματα και ορισμούς - ενδεχομένως με τη βοήθεια και της «αναλογίας» - συνιστά την “Επαγωγική” (Inductive) μέθοδο, την “από το μερικό στο γενικό”, ή την “από κάτω προς τα πάνω” λογική (botton – up logic).  

Και αυτή, βρίσκεται στον αντίποδα της προηγούμενης μεθόδου, της “Αξιωματικής / Απαγωγικής”, της “από το γενικό στο μερικό” (top – down logic), που, όπως πιο πάνω αναφέραμε, κατ’ εξοχήν μετέρχεται, διότι επάνω της είναι θεμελιωμένη, η Ευκλείδεια γεωμετρία……

Υπ’ όψιν ότι η μαθηματική σκέψη, προκειμένου να φθάσει στο στόχο της, δηλ. να αποδεικνύει τις προτάσεις της, χρησιμοποιεί χωρίς αποκλεισμούς και τις δύο πιο πάνω μεθόδους καθώς και άλλες που έχουν επινοηθεί, τις κατά περίπτωση προσφορότερες.                            Ο Cantor έλεγε: “Η ουσία των μαθηματικών έγκειται στην ελευθερία τους”                                              Ακόμα, λέγεται, στον πόλεμο, στον έρωτα και στα μαθηματικά όλα επιτρέπονται!

   Ένα από τα σπουδαία έργα της αρχαιότητας που σώθηκαν και διεφύλαξε ανεκτίμητα στοιχεία, είναι το “Σχόλια στο 1^ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη”, του νέο-πλατωνικού φιλόσοφου Πρόκλου. Και το “1ο βιβλίο των Στοιχείων” είναι πολύ σημαντικό, διότι σ’ αυτό περιέχονται όλα τα αιτήματα και όλες οι κοινές έννοιες/αξιώματα του όλου Ευκλείδειου έργου.  

Ο Πρόκλος (412-485 μ.Χ.) υπήρξε ένας από τους τελευταίους διευθυντές της Ακαδημίας, πριν αυτή, όπως και οι άλλες φιλοσοφικές σχολές, παρακμάσει και κλείσει περί το 529,  συνέπεια και διαταγμάτων (εδίκτων) του Ιουστινιανού  κατά των εθνικών.

Σήμερα αποτιμώντες, με μια διαφορετική - ελεύθερη όμως επιβεβαιωμένη – σύγχρονη ματιά, την όλη προσφορά της Ευκλείδειας γεωμετρίας στην ανθρωπότητα, δεν μπορούμε παρά να συλλογιστούμε μελαγχολικά:

 “Αν οι Έλληνες μαθηματικοί είχαν ακολουθήσει τον Αρχιμήδη, την μεγίστη διάνοια της αρχαιότητας, και όχι τον Ευκλείδη, τον Πλάτωνα, ή τον Αριστοτέλη, θα είχαν προλάβει κατά 2.000 χρόνια νωρίτερα, την περίοδο των σύγχρονων Μαθηματικών (που άρχισε με τον Καρτέσιο και τον Νεύτωνα), καθώς και την περίοδο  της σύγχρονης Φυσικής επιστήμης (που άνοιξε με τον Γαλιλαίο), τον 17^ο αι.»!         (Ε. Τ. BELL στο έργο του: «Οι Μαθηματικοί», σελ. 28).  

 

6) Από την Φυσική του Επίκουρου

Δύο μικρά αποσπάσματα από την επιστολή προς Ηρόδοτο:

  1ο) …… “Και αυτό γιατί, εφ’ όσον τα υλικά πράγματα δεν εξαφανίζονται μέχρι του σημείου να μην υπάρχουν,  θα πρέπει να υφίσταται κάποιο όριο στην άπειρη διαιρετότητα τους, το “άτομον”.……… “Καί εἰ ἐφθείρετο δέ τό ἀφανιζόμενον εἰς τό μή ὅν, πάντα ἄν ἀπωλώλει τά πράγματα…..ταῦτα δέ ἐστιν ἄτομα καί ἀμετάβλητα” (προς Ηρόδοτο, 39-41).

   2ο) …… “Περεταίρω, ένα πεπερασμένο σώμα δεν μπορεί να αποτελείται από άπειρα σε αριθμό μέρη, όθεν δεν μπορεί να διαιρείται απεριόριστα, σε άπειρα πολλά τεμάχια…… Επιπλέον, δεν πρέπει να νομίζουμε ότι σε κάθε πεπερασμένο σώμα θα μπορούσαν να υπάρχουν μέρη, άπειρα σε αριθμό, ή μέρη απείρως μικρά. Είναι επομένως αναγκαίο, όχι μόνο ν’ απορρίψουμε την διαίρεση σε όλο και μικρότερα μέρη επ’ άπειρον, …… ώστε να μην εξασθενήσουμε όλα τα πράγματα κι έτσι στην ένωση των συνθέτων σωμάτων ν’ αναγκαζόμαστε να συνθλίβουμε και να σπαταλάμε τα πράγματα που υπάρχουν στο μη όν,……. αλλά ούτε πρέπει ακόμη να νομίζουμε ότι στα πεπερασμένα σώματα υπάρχει η δυνατότητα να συνεχίζεται επ’ άπειρον η μετάβαση και σε μικρότερα, και ακόμη μικρότερα, μέρη.……”  (Επιστολή προς Ηρόδοτο, 56. Μετάφραση: Λ. Αλεξανδρίδη)

  3) Μία αινιγματική φράση στην Επιστολή προς Ηρόδοτο: “το εν τη ατόμω ελάχιστον, τα ελάχιστα”….. κατανοείται από μερικούς, ότι ο Επίκουρος υπαινίσσεται την ύπαρξη ενός είδους ακόμα μικρότερων ελαχίστων, εντός του ατόμου. Αυτό το σημείο πυροδοτεί μια συζήτηση αν έτσι υποδεικνύονται δύο διαφορετικά ελάχιστα, το φυσικό (που είναι το άτομο) και το μαθηματικό (που είναι τα -υπό αφηρημένη έννοια- μέρη του ατόμου).

7)  Επικούρειοι – Μαθηματικοί

7.1)  Ο Πολύαινος

Φίλος και μαθητής του Επίκουρου (341-270 π.Χ.) ήταν Πολύαινος ο Λαμψακηνός (340 – 285; 278; π.Χ.). Είχε αναδειχθεί και καθηγεμόνας» στη σχολή του “Κήπου”, μαζί με τους Μητρόδωρο (331-277 π.Χ.) και Έρμαρχο (325-250 π.Χ.). Ο Πολύαινος, ήταν  συνομήλικος με τον δάσκαλο του, μόνον που αυτός, όπως και ο κατά 10 χρόνια νεότερος αυτών Μητρόδωρος, πέθαναν πριν απ’ τον Επίκουρο. Είχαν γνωριστεί στην Λάμψακο, όταν μετά τη φυγή του από τη Μυτιλήνη το 307 ή 306 π.Χ., ο Επίκουρος είχε ανοίξει εκεί φιλοσοφική σχολή. Κατόπιν, όπως και ο Μητρόδωρος, τον ακολούθησε στην Αθήνα. Μέσα από τους παπύρους του Ερκουλάνου, ο Πολύαινος περιγράφεται ήπιος, σεμνός και γενναιόδωρος χαρακτήρας.

Ο Πολύαινος παράλληλα ήταν και ικανός μαθηματικός. Μάλιστα συνέγραψε μαθηματικό βιβλίο με τον τίτλο “Απορίαι”, χαμένο δυστυχώς, όπως και άλλα διάφορα έργα που του αποδίδονται, όμως γνωστό και συζητημένο στην αρχαιότητα…… Τον 2ο αι. π.Χ. ένας άλλος Επικούρειος, ο Δημήτριος ο Λάκων, συνέγραψε το έργο "Πρὸς τὰς Πoλυαίνoυ ἀπoρίας"……

Στο βιβλίο του Πολύαινου “Απορίαι”, ασκείτο κριτική της γεωμετρίας του Ευκλείδη, όπως αυτή διατυπώνονταν στο βιβλίο του “Τα Στοιχεία”, που είχε πρωτο-κυκλοφορήσει κατ’ εκείνη την εποχή.

Η κριτική του Πολύαινου ήταν  γενικότερη και επί αρχών, αλλά και ειδικότερη σε κάποια από τα ονομαστά “αιτήματα”, δηλ. τις αναπόδεικτες προτάσεις που εδέχετο η Ευκλείδεια γεωμετρία.  Ιδιαίτερα,  η κριτική του Πολύαινου αφορούσε το περίφημο  “πέμπτο αίτημα”  του Ευκλείδη, το οποίο είναι και το πλέον συζητημένο στους αιώνες και  του οποίου ο Πρόκλος έδωσε την (ισοδύναμη-ισότιμη) διατύπωση που έκτοτε καθιερώθηκε και η οποία είναι:

….. “Με δεδομένη μία ευθεία γραμμή και ένα σημείο εκτός αυτής, μόνον μία παράλληλη  μπορεί να αχθεί προς την ευθεία, η οποία να διέρχεται από το σημείο”.…….

Αυτή, η εναλλακτική εκδοχή του Πρόκλου στο “πέμπτο αίτημα”, του προσέδωσε και την επωνυμία: “Αίτημα ή αξίωμα (όπως αδιακρίτως τελευταίως ονομάζονται τα Ευκλείδεια αιτήματα), της παραλληλίας”…   Ο John Playfair (1748-1819), σε βιβλίο του γεωμετρίας το 1795 το έκανε ακόμα γνωστότερο και με το δικό του όνομα (“Αξίωμα του Πλέυφαιρ”).

7.2) 2^ος  & 1^ος  αι. π.Χ.

Ένα και πλέον αιώνα μετά τον Πολύαινο διακρίνονται τρείς εξαίρετοι Επικούρειοι με αξιόλογο συγγραφικό έργο, παράλληλα και ικανοί μαθηματικοί. Είναι οι: Δημήτριος ο Λάκων, ο σύγχρονος του (λίγο  νεότερος)  Ζήνωνας από τη Σιδώνα και ο Φιλονίδης  από την Λαοδικεία.  

Ο Φιλονίδης , 200 - 130 π.Χ., αναφέρεται από τον Απολλώνιο τον Περγαίο στο εισαγωγικό σημείωμα του δεύτερου βιβλίου του έργου των Κωνικών. Συνέλεγε με ιδιαίτερη θέρμη τα έργα του Επίκουρου και των συνεργατών του, και αναφέρεται πως εξέδωσε πάνω από 100 πραγματείες.

   Σχολάρχης στον Κήπο, 180-150 π.Χ., υπήρξε ο Βασιλείδης. Σύρος στη καταγωγή από τη Τύρο, ο οποίος φαίνεται πως είχε ζωηρό ενδιαφέρον κι’ αυτός για τα μαθηματικά. Μετά από τον Βασιλείδη τη σχολή διηύθυνε (150-120 π.Χ.) ο Απολλόδωρος, Αθηναίος, αυτός που προσονομάστηκε  “Κηποτύραννος” και για τον οποίο ο Διογένης Λαέρτιος σημειώνει ότι: “γέγονεν ελλόγιμος, ος υπέρ 400 συνέγραψεν βιβλία”.  

Διάδοχος του Απολλόδωρου, ήταν ο μαθητής του Ζήνωνας από τη Σιδώνα (120-75 π.Χ.),  ενδεχομένως μετά από τον Δημήτριο Λάκωνα, και έργο πλούσιο, ως διαπιστώνουμε, καταγράφεται και κατά τους 2^ο και 1^ο π.Χ. αι..  Όμως παρατηρούμε και στροφή του “Κήπου” στα μαθηματικά, κυρίως από τους εξέχοντες διευθυντές του, Δημήτριο Λάκωνα και Ζήνωνα Σιδώνιο.

Οι γνωστοί μας “πάπυροι του Ερκολάνου”, τους οποίους μελέτησε ο διάσημος Wilhelm Crönert (1874-1942), μας διασώζουν τις περισσότερες πληροφορίες που έφθασαν ως τις ημέρες μας για τη ζωή και τα έργα των Δημήτριου Λάκωνα και Ζήνωνα Σιδώνιου. Και έχουμε αυτή τη τύχη, διότι ο Φιλόδημος (110-35 π.Χ.), ο συγγραφέας των παπύρων, υπήρξε μαθητής του Ζήνωνα του Σιδώνιου. Αναφορές γι’ αυτούς έχουμε και από άλλους γνωστούς αρχαίους συγγραφείς, όπως ο Διογένης Λαέρτιος, Στράβων, Πρόκλος, κ.ά.

7.3) Δημήτριος ο Λάκωνας

Μεταξύ των βιβλίων του Δημήτριου Λάκωνα, που σαν τίτλους, ή σε ισχνά αποσπάσματα έχουν διασώσει οι πάπυροι, είναι και τα “Περί γεωμετρίας” και “Προς Πολυαίνου απορίας”, όπως και πιο πάνω αναφέραμε. 

   Από τους σύγχρονους μελετητές της ιστορίας των μαθηματικών , άλλοι (όπως οι Angeli και Dorandi) έχουν τη γνώμη ότι στόχος του Δημήτριου Λάκωνα ήταν να επαναδιατυπώσει τις αντιρρήσεις του Πολύαινου, άλλοι, όπως ο David Sedley (1947-) ότι ο στόχος του ήταν να συμβιβάσει ή προσαρμόσει την γεωμετρία με την Επικούρεια φυσική (δηλ. την ατομική θεωρία).   

7.4)  Ζήνωνας ο Σιδώνιος

       Ο Ζήνωνας από τη Σιδώνα (150-75 π.Χ. ο Διογένης Λαέρτιος  τον αποκαλεί “πολύγραφο άνδρα”), σε έργο του, άσκησε και αυτός κριτική επί της επάρκειας και πληρότητας των γεωμετρικών αρχών του Ευκλείδη. Εξέφρασε επιφυλάξεις στο κατά πόσον ήταν πραγματικά “ολοκληρωμένες”, ώστε να μην απαιτούνται περαιτέρω προσθήκες.

Ο Κικέρων, ο οποίος στα νιάτα του είχε γνωρίσει τον ηλικιωμένο τότε Ζήνωνα  Σιδώνιο στην Αθήνα, τον εξυψώνει, προσαγορεύοντας τον: “coryphaeus epicureorum,… arciculus senex, istorum acutissimus” (…...ηλικιωμένος, σοφός). Στα έργα του τον είχε υπόδειγμα συγγραφέα. Όπου ο Κικέρων μιλά για Επικούρεια φυσική και “παρέγκλιση”, είναι ενημερωμένος κυρίως από τα έργα του Ζήνωνα.      

Κατά τον Πρόκλο, ο Ζήνωνας  Σιδώνιος αμφισβήτησε την δυνατότητα κατασκευής ισοπλεύρου τριγώνου (Είναι η πρόταση 5 του 1^ου βιβλίου του Ευκλείδη, την οποίαν εντοπίζουμε και στα “Αναλυτικά Πρότερα” του Αριστοτέλη), με τον ισχυρισμό ότι, ακόμα κι’ αν δεχτούμε τις αρχές της γεωμετρίας, δεν φθάνουμε στο συμπέρασμα, εκτός κι’ αν επί πλέον υποθέσουμε ότι τόσο οι δύο ευθείες, όσο και οι περιφέρειες κύκλου (οι απαραίτητες για τη κατασκευή τους) δεν έχουν κοινό τμήμα ευθείας γραμμής.

Ο Πρόκλος αναφέρει πως ο Ποσειδώνιος (135-51 π.Χ.), ο πολυσχιδέστατος Ρόδιος Στωικός, συνέγραψε βιβλίο με έντονες διαφωνίες σε Ζηνόνιες θέσεις, όπου χαρακτήριζε  “σαθρὰν αὐτοῦ πᾶσαν τὴν ἐπίνοιαν”.

   Στο ερώτημα τι ώθησε τον Ζήνωνα να εισηγηθεί ότι η τομή δύο ευθειών θα μπορούσε να είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα (διαθέτον μέγεθος) και όχι ένα αδιάστατο σημείο, ο πλέον λογικοφανής λόγος είναι η πίστη του στην Επικούρεια φυσική θεωρία περί των ατόμων, “ελαχίστων” μεν, αλλά διαθέτοντα στοιχειώδες - υπαρκτό μέγεθος και στην “κατ’ αναλογίαν” εφαρμογή της από την φυσική στα μαθηματικά….. 

7.5) Ο Βόηθος

Ο Πλούταρχος, σε μερικά αποσπάσματα από το περίφημο έργο του “Περί του μη χραν έμμετρα νυν την Πυθίαν / The Oracles at Delphi no Longer Given in Verse (396D-E)”, μαρτυρεί την ύπαρξη ενός Επικούρειου γεωμέτρη στην εποχή του, 1ο μ.Χ. αι., που ονομάζεται Βόηθος.

 Ο Πλούταρχος μας περιγράφει συζήτηση, πραγματοποιούμενη κατά τη διάρκεια δείπνου σε αθηναϊκό σπίτι, όπου συμμετέχει ο Βόηθος, “συνεδείπνουν δ’  οὐκ  ὀλίγοι τῶν ἀπὸ τῆς αἱρέσεως”……

Ο Πλούταρχος εισάγει τον Βόηθο: “Υπολαβὼν οὖν Βόηθος ὁ γεωμέτρης, οἶσθα γὰρ τὸν ἄνδρα  μεταταττόμενον ἤδη πρὸς τὸν ᾽Ἐπίκουρον”…….. Δηλαδή: “Σ’ αυτό το σημείο ο Βόηθος ο γεωμέτρης μπήκε στη συνομιλία, γνώριζα μάλιστα ότι ο άντρας μεταστρέφονταν ήδη προς τον Επίκουρο”. Όταν έπεσε η σιωπή, ο Βόηθος είπε ότι όταν ήταν νέος ασχολήθηκε με σοφιστικές αναζητήσεις και, έχοντας συνηθίσει να χρησιμοποιεί τα αξιώματα της γεωμετρίας, υιοθετούσε και υποθέσεις μη αποδεδειγμένες.  

Όμως τώρα, θα τον απασχολούσαν πλέον μόνον τα αποδεδειγμένα δόγματα του Επίκουρου…..  Συζητώντας για διάφορα θέματα της φυσικής και εκφράζοντας τις Επικούρειες θέσεις, ο Βόηθος μεταξύ άλλων λέει…… “Εάν ένας γνήσιος επικούρειος φιλόσοφος ενδιαφέρεται για ένα συγκεκριμένο φυσικό φαινόμενο, αυτό συμβαίνει επειδή ο σκοπός κάθε επιστημονικής έρευνας είναι αποκλειστικά ηθικός”…

Στη συνέχεια, απαντώντας στον Στωικό φιλόσοφο Σαραπίωνα, εγείρει πειστικά και παραδοσιακά Επικούρεια επιχειρήματα κατά του μαντείου των Δελφών και ενάντια στη μαντεία γενικότερα……

Παραδόξως ο Πλούταρχος (γνωστός για την σφοδρή αντιπαλότητα του έναντι των Επικουρείων, μάλιστα τους έψεγε ότι…… “εξωθούσι τας από των μαθημάτων (δηλ. των μαθηματικών) ηδονάς” στον διάλογο αυτό δεν είναι εχθρικός με τον Βόηθο. Αυτό, υποδηλώνει κατά τους μελετητές, ότι ο γεωμέτρης, είτε ήταν φίλος του Πλούταρχου, είτε μια προσωπικότητα που άξιζε το σεβασμό. 

Ο Πλούταρχος λέγοντας ότι “τώρα ο Βόηθος είναι προς τη πλευρά του Επικούρου”, υποδηλώνει πιθανότατα ότι αποκήρυξε το παρελθόν του ως γεωμέτρη  (όπου τότε, όπως είπαμε, είχε αποδεχθεί τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας και μεταχειριζόταν αναπόδεικτες υποθέσεις)……  Έτσι τώρα, όπως ο Σιδώνιος Ζήνων, και ο Αθηναίος Βόηθος επικρίνει την πληρότητα των Ευκλείδειων αξιωμάτων, ιδίως από επιστημολογικής επόψεως…..

{Από το άρθρο: “BOETHUS THE EPICUREAN” του Francesco VERDE, “Sapienza” Università di Roma}

 ΣΗΜ: Με επιφύλαξη το επισημαίνω, όμως έχω την υπόνοια ότι ο Πλούταρχος για τις ανάγκες του διαλόγου του “έπλασε" τον Βόηθο (Βόηθος/Βοηθός σημαίνει Επίκουρος) δεδομένου και ότι Βόηθος  γεωμέτρης - Επικούρειος ουδαμού αναφέρεται από άλλη αρχαία πηγή…… Σε κάθε περίπτωση -ασφαλώς- σημαντική παραμένει η αναφορά του Πλούταρχου σε μαθηματικούς και Επικούρειους του 1ου μ.Χ. αι., εκθέτοντας τις απόψεις τους με έγκυρο τρόπο.    

 

8) Θέσεις του Αριστοτέλη

   Ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.)  είχε περιγράψει μια μέθοδο συλλογισμού και απόδειξης στα έργα του «Πρότερα αναλυτικά» και «Ύστερα αναλυτικά», τα οποία έγιναν γνωστά πολλούς αιώνες αργότερα με τον συνοπτικό τίτλο «Όργανον». Κατά τον Σταγειρίτη φιλόσοφο, η μέθοδος αυτή ονομαζόταν “Λογική” και στηριζόταν σε καθολικές αρχές, σε αντίθεση με την φυσική του μέθοδο, στην οποία λαμβάνονταν υπόψη αρχές, που σχετίζονταν με ένα εξεταζόμενο φυσικό αντικείμενο και βασίζονταν στην παρατήρηση του αντικειμένου με τις αισθήσεις.   

Ο Αριστοτέλης θεωρούσε τα μαθηματικά, όπως και τη φυσική, θεωρητικά μαθήματα…… “Ότι μεν ουν η φυσική θεωρητική τις εστίν, φανερόν εκ τούτων. Άλλ’ έστι και η μαθηματική θεωρητική”…… Μαζί δε με την θεολογία, την οποίαν θεωρούσε “και την τιμιωτάτην” καθ’ όσον ασχολείται “περί το τιμιώτατον γένος” (δηλ. το θείον),  δημιουργούν το τρίπτυχο  της θεωρητικής φιλοσοφίας…… “Ώστε τρεις αν είεν φιλοσοφίαι θεωρητικαί: μαθηματική, φυσική, θεολογική” (Μετά τα Φυσικά, Ε 1026,α,5-25).

Για τον Σταγειρίτη σοφό τα 4 στοιχεία (της φωτιάς, του αέρα, της γης και του νερού) δεν ήταν φτιαγμένα από άτομα, αλλά ήταν συνεχή. Έκρινε ότι η ύπαρξη κενού, που απαιτούν οι ατομικές θεωρίες, παραβιάζει τις φυσικές αρχές. Την Φύση δε ο Αριστοτέλης, όπως και ο Πλάτων, περιόριζε στην υποσελήνια περιοχή. Τα Αριστοτέλεια “Minima naturalia”,  θεωρήθηκαν ως τα μικρότερα μέρη στα οποία μια ομοιογενής φυσική ουσία θα μπορούσε να διαιρεθεί και να διατηρήσει τον ουσιαστικό της χαρακτήρα. Οι αλλαγές, για τη δημιουργία νέων δομών προκύπταν με τη μετατροπή της ύλης καθ’ αυτήν, και όχι όπως πίστευαν οι  “ατομικοί”  με την αναδιάταξη των ατόμων της.  Σε αντίθεση δε με τον ατομισμό των Δημόκριτου και Επίκουρου, το Αριστοτέλειο "φυσικό ελάχιστο" λογίζεται διαιρετό, δεν θεωρείται ως φυσικά αδιαίρετο.

                 Κατά τον Αριστοτέλη, οι μαθηματικές οντότητες είναι “νοητικές αφαιρέσεις” από τα φυσικά αντικείμενα (Φυσικά 193b 22-36). Αυτά, μολονότι στη πραγματικότητα είναι αδιαχώριστα από το φυσικό, κινητό, σώμα, μαθηματικά μελετώνται ανεξάρτητα από την κίνηση, και αυτός ο διαχωρισμός δεν συνεπάγεται κανένα σφάλμα. Ο μαθηματικός κάνει αφαίρεση κάθε αισθητής ιδιότητας των πραγμάτων, αφήνει μόνο ό,τι είναι ποσοτικό και συνεχές, καθώς και τις ιδιότητες του. Η αριθμητική πραγματεύεται την ασυνεχή ποσότητα, ενώ η γεωμετρία τη συνεχή.  (W. D. Ross, “Αριστοτέλης” σελ.104-105  και “Μετά τα Φυσικά”  1061,α,28 -b3). 

9)  Προβληματισμοί περί την “εις άπειρον διαιρετότητα του συνεχούς”

   Ο Ζήνων ο Σιδώνιος θεώρησε ότι, όπως η διαίρεση των υλικών αντικείμενων κάπου σταματά ειδάλλως το αντικείμενο θα εξαφανίζετο κατά την Επικούρεια θεωρία, κατ’ ανάλογο συλλογισμό και στα μαθηματικά θα συμβαίνει το ίδιο. Συνεπώς, δεν θα πρέπει να υπάρχουν αδιάστατα μαθηματικά στοιχεία, όπως είναι τα σημεία τομής στον Ευκλείδη. 

Ωστόσο, στην αρχαιότητα, την επηρεασμένη από την “Ζηνώνια” (του Ελεάτη) εντύπωση για την διαιρετότητα του χώρου (και με τα “παράδοξα” του), και η οποία εσφαλμένα χρησιμοποιούσε την έννοια του απειροστού, του απείρου και της συνέχειας, αγνοώντας ότι οι πεπερασμένες μέθοδοι δεν είναι δυνατόν να εφαρμοστούν σε άπειρες ποσότητες, ή, ότι στις άπειρες σειρές δεν χωρούν πράξεις σαν αυτές να είναι πεπερασμένες, καταγράφονταν σοβαρές αντιλογίες στις Επικούρειες αντιλήψεις.…..

 …….“Παράδοξα” ονομάστηκαν συμπεράσματα προφανέστατα αναληθή, που όμως προκύπτανε από έγκυρους συλλογισμούς. Το λάθος είναι ότι συνιστούν άθροισμα άπειρων προσθετέων, που δεν είναι υποχρεωτικά άπειρο……Κανείς, και μέχρι τον 19^ο αι., δεν είχε κατανοήσει την έννοια του ορίου, δεν είχε συλλάβει σωστά την έννοια της σύγκλησης των άπειρων σειρών…… Οι Weierstrass, Dedekind και Cantor – κατά τον B. Russell – έλυσαν ολοκληρωμένα τα προβλήματα του απειροστού, του απείρου και της συνέχειας (Το πρόβλημα του απειροστού λύθηκε από τον Weierstrass, η λύση των δύο άλλων ξεκίνησε από τον Dedekind και ολοκληρώθηκε από τον Cantor) ….  

Πάντως, τότε, ήταν γενικά αποδεκτό -πλην των Επικουρείων- ότι ένα μέγεθος μπορεί επ’ άπειρον να διαιρείται χωρίς να εξαφανίζεται. Επίσης ότι  αριθμητικές σειρές που οι όροι τους φθίνουν στο μηδέν, συγκλίνουν σ’ ένα πεπερασμένο άθροισμα. Ο Αριστοτέλης για παράδειγμα γνώριζε ότι η φθίνουσα ακολουθία:  Σ 1/2ⁿ = 1 (όπου n = 1 έως ∞), δηλ.  1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1.     

           Εξ άλλου, έλεγαν, αν το σημείο είχε διαστάσεις, τότε κάθε ευθύγραμμο τμήμα θα αποτελείτο από ακέραιο αριθμό σημείων, επομένως ό λόγος της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς τη πλευρά του, θα ήταν αριθμός ρητός και όχι ασύμμετρος….. Είναι η σκέψη που είχε υποχρεώσει παλιά και τους Πυθαγορείους να παραδεχτούν ότι το σημείο δεν έχει διαστάσεις. (Ευκλείδη “Στοιχεία” «Κέντρο Έρευνας, Επιστήμης και Εκπαίδευσης / Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ.», σελ.94). Ανάλογες σκέψεις, ασφαλώς, θα προέκυπταν και για τα λεγόμενα “Άλυτα προβλήματα” της γεωμετρίας - Δήλιο πρόβλημα/διπλασιασμός του κύβου, τριχοτόμηση της γωνίας και τετραγωνισμός του κύκλου - που πλέον θα έπαυαν να είναι τέτοια.

Στη ρίζα των αντιγνωμιών αυτού του είδους, λοιπόν, ορθώνεται η αντίθεση ρητών και άρρητων αριθμών, εγγενές και αξεπέραστο πρόβλημα της Μαθηματικής. Αυτό που οδήγησε στη τρέλα και καταστροφή τους Πυθαγόρειους…. και άλλους πολλούς βέβαια μέχρι και σήμερα!.....

Έτσι, οι μεν ρητοί αριθμοί καταμετρούν μεμονωμένα στοιχεία και ποσότητες αποτελούμενες από υποκείμενα διακρινόμενα, δηλαδή μεγέθη “ασυνεχή”, όμως υπάρχουν και οι άρρητοι  -αριθμοί κι΄ αυτοί- οι  δεκαδικοί με το άπειρο πλήθος των μη περιοδικών  δεκαδικών ψηφίων. Αυτοί προορίζονται για τη μέτρηση αδιάληπτων μεγεθών, τουτέστιν μεγεθών “συνεχών”….. Το σύνολο των ρητών και των άρρητων μαζί συγκροτεί τους πραγματικούς αριθμούς (συμβολίζεται με {R}) και αποτελεί ένα συνεχές.

Κατά τον καθηγητή Βασίλη Καρασμάνη (γεν. 1949), για τους Πλατωνικούς όλα τα μεγέθη είναι συνεχή και επ’ άπειρον διαιρετά κατά την έννοια του Ζήνωνα (του Ελεάτη), επίσης  πυκνά, συμπαγή, συνεκτικά, με την ιδιότητα της “μη καταμετρητότητας”. Σχετικά ο  Πρόκλος  σχολιάζει: “Όταν οι γεωμέτρες αποδεικνύουν ότι μεγέθη είναι μη μετρήσιμα, τι άλλο εμείς θα μπορούσαμε να πούμε παρά ότι κάθε μέγεθος είναι απείρως διαιρετό και ότι ποτέ δεν θα φθάσουμε σε ένα αδιαίρετο κομμάτι, το οποίον να είναι το ελάχιστο κοινό μέτρο του μεγέθους”……

Απαιτεί, όμως ο Πρόκλος μεγαλύτερη ανάλυση. Έτσι φαίνεται ότι τα μεγέθη ενέχονται στα προβλήματα της “περί την άπειρη διαιρετότητα” κατά δύο τρόπους:

α) Ο πρώτος, “Ζηνώνιου” τύπου, η οποία αναφέρεται σε ρητούς αριθμούς,  διατηρεί το συνεχές της Αριστοτελικής θεωρίας του μεγέθους, χωρίς να γίνεται ιδιαίτερος λόγος για την “μη καταμετρητότητα”.

β) O δεύτερος τρόπος σχετίζει το πρόβλημα της άπειρης διαιρετότητας των μεγεθών με την πυκνότητα της ύλης και με την α-δυνατότητα της μέτρησης, θέση προς την οποία κλίνει ο Πρόκλος και η Πλατωνική θεώρηση γενικότερα. Από αυτή τη θεώρηση προκύπτει η λεγόμενη “Ανθυφαιρετική” μέθοδος του Ευκλείδη.

Η “Ανθυφαιρετική” συνιστά διαδικασία, η οποία μέσω αλληλο-διαδοχικών αφαιρέσεων του μικρότερου δύο μεγεθών από το μεγαλύτερο, καταλήγει, είτε σε ένα κοινό μέτρο των δύο μεγεθών (οπότε αυτά τα μεγέθη είναι μετρήσιμα), είτε δεν καταλήγει, οπότε τα μεγέθη δεν έχουν κοινό μέτρο, είναι μη μετρήσιμα και ονομάζονται “ασύμμετρα”.…….

Πρόκειται για την 2^η πρόταση του 10^ου βιβλίου των “Στοιχείων”, την οποίαν ο “πατέρας της γεωμετρίας” έχει διατυπώσει ως εξής: “Αν δοθούν δύο άνισα μεγέθη και ανθυφαιρείται (δηλ. διαδοχικά αφαιρείται) πάντα το μικρότερο από το μεγαλύτερο κάθε φορά, και το απομένον υπόλοιπο δεν καταμετρά το προηγούμενό του, τότε τα μεγέθη είναι ασύμμετρα”……  Σημαίνει δεν μπορούν να έχουν το αυτό μέτρο, συνεπάγεται δεν μπορεί να υπάρξει μέτρηση αν το μικρό μέγεθος θεωρηθεί μονάδα μέτρησης.

   Η Γεωμετρία καθίσταται λοιπόν, ήδη από την αρχαιότητα όπως ξαναείπαμε, επιστήμη που ασχολείται με ποσότητες συνεχείς, δηλ. με μεγέθη ασύμμετρα, καθώς είναι φανερό από τα πιο πάνω….. Εδώ, πρέπει να αναφέρουμε ότι η έννοια του ασύμμετρου αριθμού υπάρχει και στο έργο του Πλάτωνα “Θεαίτητος”, (147d3 - 148b4), μάλιστα όπως παρουσιάζεται στον Ευκλείδη, σαν πρόβλημα “γραμμών” (A. E. Taylor. “Πλάτων”, σελ. 374).

Οι δύο πιο πάνω αναφερθέντες τύποι (είδη) “άπειρης διαιρετότητας”, δηλ. η “Ζηνώνεια” (που μας δίνει τους ρητούς αριθμούς) και η “ανθυφαιρετική” (η οποία παράγει τους ασύμμετρους) θεωρούνται ότι συμπληρώνουν το Αριστοτελικό συνεχές και κατ’ αυτόν τον τρόπο προκύπτουν τα μεγέθη (το συνεχές των πραγματικών αριθμών και το συνεχές των γεωμετρικών σχημάτων).

Πάντως, ως επακόλουθο των πιο πάνω αντιλήψεων περί της “εις άπειρον διαιρετότητας” και της “μη καταμετρητότητας” μεγεθών, προκύπτει, ασφαλώς, από τους Πλατωνικούς και τους Αριστοτελικούς, η μη παραδοχή ύπαρξης ατόμων ύλης, αφού αυτά θεωρούνται καταμετρητά, ως διακεκριμένα - μη απ’  άπειρον διαιρετά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σ’ αυτό το σημείο σημειώνω ότι στην επιστήμη της φυσικής σήμερα, τα “ελάχιστα”, τα ασύλληπτα μικρού μεγέθους αντικείμενα που απογράφονται πάνω απ’ το “θεωρητικό Μηδέν” του ‘Μοναδικού σημείου” / Singular point   (Singular point είναι το σημείο στο οποίο μια συνάρτηση παίρνει μια άπειρη τιμή, ειδικά στο χωρόχρονο, όταν η ύλη είναι απείρως πυκνή, όπως στο κέντρο μιας μαύρης τρύπας) είναι τα Ηλεκτρόνια (αν το ηλεκτρόνιο θεωρηθεί σφαίρα, η λεγόμενη κλασικιστική ακτίνα του, σύμφωνα με την σχετικιστική φυσική και αγνοώντας τις κβαντομηχανικές επιδράσεις, είναι της τάξεως του 10 εις την -15 έως 10 εις την -22 Μ), τα  Quarks, (<10 εις την -19 Μ),  οι Χορδές/Strings (10 εις την -35 Μ), και οι Κόκκοι χωροχρόνου/space-time grains (10 εις την -35 Μ). 

 

10) Σύγχρονες μαθηματικές θεωρίες

1^η) Η “Απόλυτη Γεωμετρία”

Η αμφισβήτηση του Πολύαινου στο “πέμπτο αίτημα” του Ευκλείδη, που τόσο επικρίθηκε στην αρχαιότητα, υπήρξε ιδέα που εξαιρετικά μελετήθηκε τα κατοπινά χρόνια και πολύ γόνιμα αξιοποιήθηκε.  Μάλιστα στην αμφισβήτηση του αξιώματος αυτού στηρίζεται η λεγόμενη “Απόλυτη (ή Ουδέτερη) Γεωμετρία”, την οποίαν επινόησε ο Ούγγρος Μπόγιαϊ / Bolyai János  (1802–1860) και την δημοσίευσε το 1832 και η οποία θεμελιώνεται στα πρώτα τέσσερα αιτήματα του Ευκλείδη και καταργεί πλήρως το 5ο αίτημα, αυτό της παραλληλίας.

   Ο Γιόχαν (Γιάνος) Bolyai (Μπολιάι) έφθασε στο συμπέρασμα ότι το “αίτημα της παραλληλίας”, είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα της γεωμετρίας και ότι, διαφορετικές, αυτοσυνεπείς γεωμετρίες μπορούν να κατασκευασθούν πάνω στην άρνησή του …… Αγνοούσε ότι παρόμοια εργασία, 3 χρόνια πριν, το 1829, είχε δημοσιοποιήσει κι ένας άλλος σπουδαίος μαθηματικός, ο Ρώσος Lobatchewsky. Ο Nikolai Lobatchewsky (1793-1856) είχε επικαλεστεί αίτημα κατά το οποίον από σημείο εκτός ευθείας άγονται άπειρες παράλληλοι προς αυτήν. 

Ωστόσο η μεγάλη πίκρα (προσβολή) του Bolyai υπήρξε η απάντηση του μεγάλου Καρλ Φρίντριχ Γκάους, του “πρίγκιπα των μαθηματικών”, όταν ο πατέρας Bolyai, στενός φίλος του Γκάους, του έστειλε να δει αντίτυπο της εργασίας του γιου του Γιόχαν. Έγραψε τότε ο Γκάους:  “Αν έπρεπε να εκθειάσω την πολύ σημαντική εργασία του Γιόχαν, θα ήταν σαν να ήθελα να εκθειάσω τη δική μου, αφού είχα ανακαλύψει τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία παραπάνω από 20 χρόνια πριν!”.

Λίγα χρόνια μετά, ο  Bernhard Riemann (1826-1866), κατέθεσε πρόταση, ότι καμία παράλληλος δεν άγεται. Στη δε διάσημη γεωμετρία του (1854), τον “χώρο Riemann”, κυριαρχούν καμπυλότητες, με μεταβλητή μετρική που καθορίζει η κατανομή των υλικών μαζών, δηλ. των σωματιδίων και των διαφόρων ακτινοβολιών και πεδίων, κατά τον Αϊνστάιν.

   Από τον 19ο αι. και έπειτα, μη Ευκλείδειες γεωμετρίες που αναπτυχθήκαν, επειδή αποδείχθηκαν καλά προσαρμοσμένες στη φυσική πραγματικότητα, εξηγούν σωστά και τα φαινόμενα της.  Στην Επιστήμη υπήρξε πραγματική επανάσταση, η Φυσική γύρισε σελίδα και εισήλθε στη μετα-Νευτώνια  εποχή της. Ο διαστημικός χώρος, αλλά και η Γη μας, ως τέλεια  σφαίρα που είναι (χωρίς το ανάγλυφο της που οφείλεται στις εδαφικές εξάρσεις) οπωσδήποτε απαιτούν τη χρήση των σύγχρονων γεωμετριών (Βλ. στη Γη τα προβλήματα της “Πλεύσης του μεγίστου κύκλου”, της αποτύπωσης των καμπύλων επιφανειών μεγάλων  περιοχών σε χάρτες δυο διαστάσεων κ. ά.).  Βέβαια, επί σχετικά μικρών αποστάσεων και επιφανειών επί της Γης, όπου η  καμπυλότητα του γεωειδούς της είναι αμελητέα στους υπολογισμούς, οι διατάξεις της Ευκλείδειας γεωμετρίας παραμένουν ισχυρές και σε ευρύτατη χρήση.

2^η)  Η “Θεωρία των αλγεβρικών αριθμών”

Τον 19^ο αιώνα επίσης, οι Kummer, Kronecker και Dedekind στην ανακάλυψη τους της σύγχρονης “Θεωρίας των αλγεβρικών αριθμών”, διευρύνοντας το πεδίο της Αριθμητικής ad infinitum [επ’ άπειρον] και φέροντας τις αλγεβρικές εξισώσεις μέσα στα όρια δικαιοδοσίας των αριθμών, έκαναν την ανώτερη Αριθμητική και τη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων ό,τι οι Gauss, Lobatchewsky, Iohan Bolyai και  Riemann έκαναν για τη Γεωμετρία, απελευθερώνοντάς την από τη σκλαβιά του τόσο περιοριστικού συστήματος του Ευκλείδη.

Και όπως ακριβώς εκείνοι που ανακάλυψαν τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία άνοιξαν νέους, απέραντους και ανυποψίαστους, ως τότε, ορίζοντες στη Γεωμετρία και στις φυσικές επιστήμες, έτσι και οι δημιουργοί της “Θεωρίας των αλγεβρικών αριθμών” αποκάλυψαν ένα εντελώς νέο φως, φωτίζοντας ολόκληρη την Αριθμητική, ενώ παρουσίασαν ανάγλυφα τις θεωρίες των εξισώσεων, των συστημάτων αλγεβρικών καμπυλών και επιφανειών, και την πραγματική φύση των ίδιων των αριθμών, θεμελιώνοντας τες πάνω στο στέρεο έδαφος εκπληκτικά απλών αιτημάτων. (E. T. BELL: “Οι Μαθηματικοί”, σελ. 592).

3^η) Η “Υπόθεση του συνεχούς”

Όμως, εντυπωσιακές στα νεότερα χρόνια είναι και εξελίξεις στον κλάδο της θεωρίας των απείρων συνόλων. Το άπειρο, έννοια ασαφής και επικίνδυνη, μέχρι και τον μεσαίωνα το θεωρούσαν περίπου υπόθεση της θεολογίας.  Ο Γαλιλαίος είχε διαπιστώσει, για τα άπειρα σύνολα, ότι είναι δυνατόν “το μέρος να ισούται με το όλον” και αυτό να μην συνιστά αντίφαση, να μην είναι παράδοξο, αλλά απλά μια “ιδιότητα του άπειρου”…… Φερ’ ειπείν, αντίθετα απ’ ό,τι θα ανέμενε κανείς διαισθητικά, δύο άνισα τμήματα ευθείας έχουν τον ίδιο αριθμό (άπειρο) σημείων….

Το άπειρο  δεν είναι αριθμός και δεν μπορεί να αντιμετωπίζεται σαν αριθμός. Έχει μια διπλή φύση, το απείρως μεγάλο και το απείρως μικρό. Είναι απρόσιτο στη διανόηση, και η Αριστοτέλεια λογική (όπως φ. ε. η αρχή της “του τρίτου αποκλίσεως” κατά την οποίαν κάθε αντικείμενο είτε έχει, είτε δεν έχει, μια ορισμένη ιδιότητα) του παράγει αντινομίες. Μόνο από τα τέλη του 19^ου αι. αποκτά “κάποιο νόημα” μέσα σε “πλαίσια” που δημιούργησε ο Georg Cantor, ο οποίος διέκρινε και έδωσε ορισμούς σε “πολλά άπειρα”…..

Η σύγχρονη “θεωρία των απείρων συνόλων” διατυπώθηκε από τον Georg Cantor (1845-1918) και “αξιωματικό-ποιήθηκε” (όπως είχε κάνει κι’ ο Ευκλείδης στην γεωμετρία), από τον Ernst Zermelo (1871-1953).  Από τον Hilbert η θεωρία του Cantor χαρακτηρίστηκε “σαν ο πιο θαυμάσιος καρπός της μαθηματικής σκέψης και στην πραγματικότητα ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα των ανθρώπινων διανοητικών διεργασιών”. Ωστόσο η θεωρία αυτή, καθόλου δεν είναι απαλλαγμένη από παράδοξα και αντιφατικότητες, άρα και από αμφισβητήσεις….  

                 Ο διάσημος μαθηματικός και ακαδημαϊκός του Βερολίνου Leopold Kronecker (1823-1891) είχε χαρακτηρίσει τον Cantor "διαφθορέα της νεολαίας", για τη διδασκαλία των ιδεών του σε μια νεότερη γενιά μαθηματικών, την δε πρωτοποριακή δουλειά του "αγυρτεία". Τον κακόβουλο κατατρεγμό του Kronecker είχε υποστεί, ακόμα πιο έντονα, και ο διασημότατος των μαθηματικών Karl Weierstrass (1815-1897)!

Ιδιαίτερα, επί της διατυπωθείσης “υπόθεσης του συνεχούς” του Cantor:  

Η “Υπόθεση του συνεχούς” (Τhe continuum hypothesis or CH)  λέει ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών (δηλ. των ρητών ακεραίων) είναι “αριθμήσιμο”, ενώ το σύνολο των πραγματικών αριθμών (δηλ. οι ρητοί μαζί με τους άρρητους)  είναι “υπεραριθμήσιμο”.  Όμως, δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η ισχύς να είναι μεγαλύτερη από εκείνη των φυσικών και μικρότερη από εκείνη των πραγματικών αριθμών.

Αυτό, που “διαισθητικά είναι φανερό”, ότι δηλ. το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών περιέχει άπειρα περισσότερους αριθμούς (δηλ. σαφώς είναι περιεκτικότερο) από το υποσύνολο του των ακεραίων 1,2,3,… δεν ισχύει!  Όπως και ο Γαλιλαίος είχε διαπιστώσει, το μέρος ενός συνόλου, μπορεί να έχει το ίδιο πλήθος αντικειμένων (“πληθάριθμο”) με ολόκληρο το σύνολο. 

Με άλλη διατύπωση η “Υπόθεση του συνεχούς”, έχει ως εξής: «Δεν υπάρχει σύνολο με “πληθάριθμο” μεταξύ αυτού των φυσικών [συμβολίζεται με aleph-null (ℵ ₀) άλεφ μηδέν] και αυτού των πραγματικών αριθμών [συμβολίζεται με c (continuum)]».  Δηλ. το πλήθος των φυσικών αριθμών είναι ίδιο με αυτό των πραγματικών αριθμών.

Δύο σύνολα λέγεται ότι έχουν τον ίδιο πληθάριθμο (αριθμό καταμετρημένων στοιχείων), όταν ακριβώς όλα τα αντικείμενα που ανήκουν σ’ αυτά τα δυο σύνολα, μπορούν να σχηματίσουν ζεύγη (να συσχετισθούν) ένα προς ένα, χωρίς να περισσεύει κανένα.    

Ωστόσο, με το “διαγώνιο επιχείρημα“, ο Cantor έδειξε:  c > ℵ ₀ !...... Στο “Πρόγραμμα των 23 άλυτων προβλημάτων” του  David Hilbert  (βλ. και αμέσως πιο κάτω) η απόδειξη της  “Υπόθεσης του συνεχούς” είναι η πρώτη στον κατάλογο των “23 άλυτων προβλημάτων”. Μέχρι σήμερα δεν αποδεικνύεται, αλλά ούτε και απορρίπτεται, με βάση τα αξιώματα του Zermelo.

          Όμως, ο Paul  Cohen (1934-2007) κατάφερε να αποδείξει (1985) ότι η άρνηση της “υπόθεσης του συνεχούς”, αν επισυναφθεί στα αξιώματα του Zermelo, οδηγεί σε μια θεωρία συνόλων που είναι συνεπής, όσο και η βασική θεωρία των συνόλων!

         Και οι δύο πιο πάνω διαπιστώσεις, δηλ. η επισύναψη άρνησης του 5ου αιτήματος στα πρώτα 4 αιτήματα του Ευκλείδη, η οποία δημιουργεί μη Ευκλείδεια μεν αλλά συνεπή γεωμετρία και η επισύναψη άρνησης της “υπόθεσης του συνεχούς” στη βασική θεωρία συνόλων των Κάντορ και Τσερμέλο, η οποία  δημιουργεί μη “Καντοριανή’ μεν αλλά συνεπή θεωρία συνόλων,  είναι σχετιζόμενες.

         Θεωρείται αποδεδειγμένο ότι, κάθε αντινομία στη Γεωμετρία, που προκύπτει από τα αξιώματα, συνεπάγεται μια αντινομία στην Αριθμητική (βλ. E. T. Bell “Οι Μαθηματικοί”, σελ. 720).  Πάντως, η “υπόθεση του συνεχούς” και το “5^ο Ευκλείδειο αίτημα”, ως ανεξάρτητα από τα αντίστοιχα αξιώματα που προηγούνται, συνιστούν ριζική μεταβολή στις αντιλήψεις μας για την όλη μαθηματική επιστήμη (βλ. “Ο μαθηματικός και ο δικαστής” των Suri Gaurav και Bal Hartosh Singh, σελ. 266).

4^η) Η “Θεωρία της μη πληρότητας”

Ως αποκορύφωμα των παραπάνω έρχεται και η “Θεωρία της μη πληρότητας” του Gödel, οπότε η μαθηματική επιστήμη εγγίζει τα όρια ακόμα και της αυτοαναίρεσης της, από εγγενείς – αυθύπαρκτους λόγους!  Το 1931, μέσα από μια μελέτη του μόλις  15 σελίδων, ο τότε 25ετής Kurt Gödel (1906-1978), απέδειξε την “μη πληρότητα” της Αριθμητικής και όλων των μαθηματικών θεωριών, προκαλώντας αναστάτωση στα μέχρι τότε συμβατικά και αξιωματικά μαθηματικά!

Μέσω δύο θεωρημάτων Γκαίντελ (“Gödel's incompleteness theorems”) βεβαίωσε ότι όποια αξιώματα κι αν δεχόμαστε, η θεωρία αριθμών θα περιέχει υποχρεωτικά πάντα αναπόδεικτες προτάσεις, όχι επειδή αυτές είναι λανθασμένες, αλλά επειδή, απλά, αυτές είναι ανεπίδεκτες τεκμηρίωσης καίτοι αληθινές. Σε κάθε σύστημα υπάρχει πάντοτε μία παραδοχή, η οποία ενώ είναι αληθής, αυτό δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα….. Δύσκολο είναι, αλήθεια, να αποστείς από βεβαιότητες ριζωμένες επί αιώνες!

Πάντως, επιστήμονες του αναστήματος των Bertrand Russell και Alfred  Whitehead,  μετά από μελέτη του θεωρήματος του Kurt Gödel, όχι μόνο δεν το  βρήκαν λάθος, αλλά το χαρακτήρισαν και “καταπληκτικό” και βέβαια όλη η μαθηματική κοινότητα ακολούθησε. Σήμερα δεν αμφισβητείται.…..

Τα θεωρήματα “μη πληρότητας του Gödel” είναι δύο θεωρήματα της μαθηματικής λογικής που ασχολούνται με τα όρια της αποδεικτικότητας στις τυπικές αξιωματικές θεωρίες. Τα αποτελέσματα τους (που δημοσιεύθηκαν από τον Kurt Gödel το 1931) είναι σημαντικά τόσο στη μαθηματική λογική όσο και στη φιλοσοφία των μαθηματικών. Τα θεωρήματα ερμηνεύονται ευρέως, αλλά όχι καθολικά, καθότι δείχνουν ότι το πρόγραμμα του Hilbert να βρει ένα πλήρες και συνεπές σύνολο αξιωμάτων για όλα τα μαθηματικά είναι αδύνατο.

Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας δηλώνει ότι κανένα συνεπές σύστημα αξιωμάτων του οποίου τα θεωρήματα μπορούν να καταγραφούν με μια αποτελεσματική διαδικασία (δηλ. έναν αλγόριθμο) δεν είναι ικανό να αποδείξει όλες τις αλήθειες σχετικά με την αριθμητική των φυσικών αριθμών. Για οποιοδήποτε τέτοιο συνεπές επίσημο σύστημα, θα υπάρχουν πάντα εκθέσεις για φυσικούς αριθμούς που είναι αληθείς, αλλά που δεν μπορούν να αποδειχθούν μέσα στο σύστημα. Το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας, μια επέκταση του πρώτου, δείχνει ότι το σύστημα δεν μπορεί να επιδείξει τη δική του συνέπεια.

Τα δύο θεωρήματα της “Θεωρίας της μη πληρότητας” του μεγαλοφυούς Gödel, σε συντομία, διατυπώνονται ως εξής:

1^ο) Αν ένα σύστημα είναι συνεπές, τότε δεν μπορεί να είναι πλήρες……. Ένα λογικό σύστημα ονομάζεται συνεπές όταν δεν έχει αντιφάσεις, δηλαδή όταν μια πρόταση δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ταυτόχρονα ως αληθής και ψευδής. Πλήρες είναι ένα σύστημα όπου όλες οι προτάσεις του είναι είτε αληθείς είτε ψευδείς.

 2^ο) Η συνέπεια των αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσω του συστήματος.  Πιο αναλυτικά: Κάθε σύστημα αξιωμάτων περιλαμβάνει προτάσεις τις οποίες δεν μπορούμε να διερευνήσουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς με τα μέσα που μας δίνει το ίδιο το σύστημα, η συνέπεια δηλ. των αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσω του συστήματος.

Με τη θεωρία της “μη πληρότητας”, που έπεσε απροσδόκητα σ’ ένα κόσμο όπου η “πληρότητα” των Μαθηματικών θεωρούνταν προφανής και αναζητούσαν μόνο την τυπική απόδειξη του “γεγονότος” ότι όλα τα θεωρήματα είναι κατ’ ουσίαν αποδείξιμα, εμφανιζόταν η βεβαιότητα των Μαθηματικών - το προπύργιο της Λογικής - να κλονίζεται συθέμελα. Φαινόταν και να στέλνει ανεπίστρεπτα στο παρελθόν την προσδοκία του Καρτέσιου (René Descartes/ 1596 –1650), μαθηματικού και φιλόσοφου, παθιασμένου με την βεβαιότητα, ο οποίος το 1637 υπεστήριξε ότι οι αλήθειες σ’ όλους τους κλάδους της γνώσης θα κατακτηθούν με μαθηματικές μεθόδους……. Υπάρχει ένα ωραίο απόσπασμα στο έργο του “Λόγος περί μεθόδου”, βλ. “Ο μαθηματικός και ο δικαστής” των Suri Gaurav και Bal Hartosh Singh, σελ. 148).

Επίσης, να διαψεύδει τη βεβαιότητα του David Hilbert (εκ των ιδρυτών της αποδεικτικής θεωρίας και της Μαθηματικής λογικής), ο οποίος είχε προτείνει ένα νέο, δικό του σύνολο “Αξιώματων”, υποκαθιστώντας τα παραδοσιακά των Στοιχείων του Ευκλείδη.

O Hilbert, ένα μόλις χρόνο πριν, το 1930, στη περίφημη ομιλία του στην Εταιρεία Γερμανών Επιστημόνων στο Königsberg είχε, μεγαλοστόμως, διακηρύξει ότι σε αντίθεση με το ανόητο “ignoramus et ignorabimus” στις φυσικές επιστήμες και αυτών που προφητεύουν την πτώση του πολιτισμού, το σύνθημά μας πρέπει να είναι: “Wir müssen wissen - Wir werden wissen” (Πρέπει να γνωρίζουμε – Θα γνωρίσουμε)…… Ειδικά μάλιστα το 2ο από το  περιώνυμο “Πρόγραμμα των 23 άλυτων προβλημάτων” του, το οποίον  ζητούσε απόδειξη ότι τα αξιώματα της αριθμητικής είναι συνεπή, αποδεικνύονταν αδύνατο!

5^η)  Η “Αρχή της Διαψευσιμότητας” (του Karl Popper)

       Τρόπους προκειμένου να διακρίνουμε την επιστήμη απ' την ψευδοεπιστήμη (να διαχωρίσουμε, για παράδειγμα, την αστρονομία απ' την αστρολογία), αναζητήθηκαν από τον  Karl Popper (1902-1994), έναν από τους σημαντικότερους φιλοσόφους της επιστήμης, από το 1919-20. Σε μια εργασία του, το 1963, διατυπώθηκε η “Αρχή της διαψευσιμότητας”. Σύμφωνα με αυτήν τη θεωρία του, για να είναι χρήσιμη (ή έστω επιστημονική) μια επιστημονική θέση, θεωρία, νόμος, αρχή κ.λπ. πρέπει να είναι και διαψεύσιμη, δηλαδή να μπορεί να ελεγχθεί και να αποδειχτεί λανθασμένη.

Ο Πόππερ περιέγραψε τη διαψευσιμότητα χρησιμοποιώντας τις παρακάτω παρατηρήσεις:

1) Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε την ισχύ (επιβεβαίωση), σχεδόν, κάθε θεωρίας, αν αυτό επιδιώκουμε.

2) Οι επιβεβαιώσεις είναι σημαντικές μόνο αν είναι αποτέλεσμα παρακινδυνευμένων προβλέψεων. Δηλαδή, αν περιμένουμε ένα γεγονός που να είναι ασύμβατο με τη θεωρία, ένα γεγονός που θα την αντέκρουε.

3) Οι καλές επιστημονικές θεωρίες συμπεριλαμβάνουν απαγορεύσεις που δεν επιτρέπουν σε συγκεκριμένα γεγονότα να εκδηλωθούν. Όσο πιο πολύ απαγορεύει μια θεωρία, τόσο πιο πολύ είναι ικανοποιητική.

4) Μια θεωρία που δεν αντικρούεται από κάποιο νοητό γεγονός είναι μη επιστημονική. Το αναντίρρητο δεν είναι αρετή μιας θεωρίας.

5) Κάθε γνήσιος έλεγχος μιας θεωρίας είναι μια προσπάθεια να τη διαψεύσουμε ή να την αντικρούσουμε. Οι θεωρίες που παίρνουν μεγαλύτερα ρίσκα είναι πιο επιδεκτικές στον έλεγχο, πιο πολύ εκτεθειμένες στη διάψευση.

6) Τα τεκμήρια επιβεβαίωσης μιας θεωρίας είναι αξιόλογα, μόνο όταν έχουν προκύψει από έναν γνήσιο έλεγχο της. Γνήσιος, σ’ αυτή την περίπτωση, σημαίνει να είναι αποτέλεσμα σοβαρής, όμως αποτυχημένης προσπάθειας να διαψευσθεί (η θεωρία).

           Αυτές οι παρατηρήσεις είναι μέρος των επιχειρημάτων του Πόππερ για την υπεράσπιση της άποψης ότι αυτό που καθιστά επιστημονική μια θεωρία, είναι η διαψευσιμότητα, ή ελεγξιμότητά της.

           Ο Philip Kitcher (γεν. 1947), καθηγητής της φιλοσοφίας στο Columbia University, θεωρεί ότι μια επιστημονική θεωρία πρέπει να είναι ενοποιημένη, να έχει μία μόνο στρατηγική (ή μία μικρή ομάδα στρατηγικών) επίλυσης προβλημάτων, που να μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ευρύ φάσμα. Να είναι παραγωγική, να ανοίγει νέους τομείς έρευνας  παρουσιάζοντας νέους τρόπους να βλέπουμε τον κόσμο, να μας οδηγεί σε νέες ερωτήσεις και σε νέες και γόνιμες γραμμές έρευνας.

           Συνήθως, λέει, μια ακμάζουσα επιστήμη είναι ελλιπής και ανά πάσα στιγμή εγείρει περισσότερα ερωτήματα από όσα μπορεί να απαντήσει επί του παρόντος. Αλλά το να είναι ελλιπής δεν συνιστά ελάττωμα. Αντίθετα, η έλλειψη  είναι η μητέρα της γονιμότητας. Συμφωνώντας δε με τον Karl Popper λέγει ότι: "Υπάρχει σίγουρα κάτι σωστό στην ιδέα ότι μια επιστήμη μπορεί να πετύχει….. μόνο αν μπορεί να αποτύχει"!

6)  Το φιλοσοφικό συμπέρασμα του Born

Στη διάλεξή του Max Born (1882-1970) κατά τη τελετή βράβευσης του με Νόμπελ, (1954) για την “θεμελιώδη έρευνα του στην κβαντομηχανική, ιδίως στη στατιστική ερμηνεία της Κυματοσυνάρτησης” (του Έρβιν Σρέντιγκερ), ένα πεδίο στο οποίο είχε εργασθεί μόνος του, όπου εξετάζοντας τα φιλοσοφικά συμπεράσματα του έργου του, ανέφερε:

«…… Πιστεύω ότι ιδέες όπως η απόλυτη βεβαιότητα, η απόλυτη ακρίβεια, η τελική αλήθεια, κλπ. αποτελούν επινοήματα της φαντασίας (figments of the imagination), τα οποία δεν θα πρέπει να αναμιγνύονται σε κανένα πεδίο της επιστήμης. Από την άλλη πλευρά, κάθε πρόταση πιθανότητας είναι είτε ορθή, είτε λανθασμένη, από την οπτική γωνία της θεωρίας πάνω στην οποία βασίζεται. Αυτή η “χαλαρωτική σκέψη” (γερμ.: “Lockerung des Denkens”. Υπονοεί και τη κινητοποίηση της συνείδησης) μου φαίνεται ότι είναι η μεγαλύτερη ευλογία που μας έχει προσφέρει η σύγχρονη επιστήμη. Γιατί η πίστη σε μία μοναδική αλήθεια και στην κατοχή της από κάποιον άνθρωπο, αποτελεί τη ρίζα όλων των κακών στον κόσμο».

11) “Επί τον τύπον των ήλων”.

 Όμως, ας επανέλθουμε στους Επικούρειους της αρχαιότητας, διότι σ’ αυτούς αναφέρεται η πραγματεία μας  αυτή…….

Οι Επικούρειοι, λοιπόν, έπρεπε τότε να τοποθετηθούν αν η δική τους φυσική θεωρία για τα άτομα και το κενό συμβιβάζεται με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ιδιαίτερα, όπως και πιο πάνω είπαμε, αν η διακριτότητα των ατόμων της ύλης με τα ελάχιστα Επικούρεια (τα άτομα) να διαθέτουν χωρικές διαστάσεις, συνάδει με την απ’ άπειρον διαιρετότητα και το “ασύμμετρο”, που σημαίνει “μη καταμετρητότητα των μαθηματικών μεγεθών”.

Η (μεταφυσική) θεωρία ότι η γραμμή, κατά συνέπεια και ο χώρος (το ίδιο και η κίνηση και ο χρόνος), δεν είναι συνεχή μεγέθη αλλά αποτελούνται από μικρά – διακριτά άτομα, ήταν ιδέα που συζητήθηκε στην αρχαιότητα. Μάλιστα το μικρό ψευδό-αριστοτελικό έργο: «Περί ατόμων γραμμών»  (ίσως γράφτηκε από μαθητή του Αριστοτέλη) στοχεύει ακριβώς στην αναίρεση της αντίληψης αυτής, δηλ. ότι ο χώρος, η κίνηση και ο χρόνος είναι όντα ασυνεχή/“κβαντισμένα”, κάποιων υποστηρικτών της, που δεν ήταν μόνο οι πιστοί της Δημοκρίτειας ατομικής θεωρίας, αλλά και οπαδοί του Ξενοκράτη, του 2ου διαδόχου του Πλάτωνα στην Ακαδημία (Βασ. Καρασμάνη: “Μαθηματικά και Τεχνολογία στην αρχαία Ελλάδα”).

Αξίζει να σημειώσω, ότι παράφραση του πιο πάνω έργου: “Περί ατόμων γραμμών”, που είχε συμπεριληφθεί στο μεγάλης σπουδαιότητας και εκτάσεως φιλοσοφικό σύγγραμμα του Βυζαντινού λόγιου Γ. Παχυμέρη (1242 – 1310), είχε πάρει την θέση “Αριστοτελικού” κειμένου, σε όλες τις πρώτες εκδόσεις των Αριστοτελικών Απάντων του Άλδου Μανούτιου, από το 1497 έως το 1556.     

   Οι άλλες φιλοσοφικές σχολές (Ακαδημεικοί, Περιπατητικοί, Στωικοί), αντεπεξέρχονταν αυτό το πρόβλημα, αφού η Φυσική τους ήταν εκ διαμέτρου αντίθετη, τα φυσικά “minima” τους συνεχή και μαθηματικώς εδέχοντο την επ’ άπειρον διαιρετότητα και μη καταμετρητότητα.

Αργότερα, κυρίως μετά τον Αρχιμήδη και τη ξακουστή μέθοδο του για την προσεγγιστική εύρεση του “π”, όλες οι σχολές αναγκάστηκαν να προβληματισθούν περεταίρω πάνω στην διαιρετότητα της ύλης, καθώς και επί της “καταμετρητότητας ή μη” των ελάχιστων φυσικών μεγεθών…..

   Ούτως εχόντων των πραγμάτων, φαίνεται/συνάγεται, ότι οι αναφερθέντες μαθηματικοί Επικούρειοι φιλόσοφοι δέχονταν ότι και ο γεωμετρικός χώρος είναι “κβαντισμένος” (ως συνέπεια του φυσικού “ατομισμού” της Επικούρειας φιλοσοφίας), και συνακόλουθα δεν μπορούσαν αυτοί παρά να είναι επικριτικοί στη Ευκλείδεια γεωμετρία, ως προς το θέμα του “συνεχούς”, δηλ. της επ’ άπειρον διαιρετότητας και μη καταμετρητότητας των μαθηματικών μεγεθών. Τέτοιες απόψεις, ασφαλώς, προκαλούσαν μεγάλες αντιδράσεις, διότι δυναμιτίζανε την καθιερωμένη γεωμετρία συθέμελα.

 Άλλο θέμα για τους Επικούρειους ήταν ότι προτάσεις που ο Ευκλείδης θεωρούσε “προφανείς”, όφειλαν προηγουμένως να έχουν στηριχθεί και πάνω σε άλλες προϋποθέσεις και πρόσθετα αξιώματα. Το ερώτημα στην επόμενη βαθμίδα γενικεύονταν και ήταν αν η αμφισβήτηση έπρεπε να επεκταθεί και σε όλη τη γεωμετρία.

Τέτοιους προβληματισμούς εξέφρασαν στα έργα τους οι τρείς προαναφερθέντες μαθηματικοί – Επικούρειοι:  Πολύαινος Λ.,  Δημήτριος Λ., Ζήνων Σ., όπως προκύπτει από τις πηγές. Και αυτές οι απόψεις των Επικουρείων για τη γεωμετρία ήταν που προκάλεσαν αντιδράσεις, έως και σφοδρές.  

   Ήδη στην αρχαιότητα: Ο “πολύς” Κικέρων στο “De Finibus”, σημειώνοντας  ότι ο Επίκουρος απέρριπτε τη φορμαλιστική λογική και την αφαιρετική μέθοδο εξαγωγής συμπερασμάτων, τον κατακρίνει λέγοντας ότι είναι ανάξιο για ένα φυσικό φιλόσοφο να αρνείται την επ’ άπειρον διαιρετότητα…… Σε άλλη αναφορά του ο Κικέρων κατατάσσει τον Πολύαινο, επειδή τελούσε κάτω από την επιρροή του δασκάλου του Επίκουρου, σ’ αυτούς που διαλογίσθηκαν τη γεωμετρία όλη εσφαλμένη, ενώ δεν παραλείπει, να προσθέσει επιτιμητικά ότι ο Επίκουρος, όχι ειδικά πεπαιδευμένος ο ίδιος, τουλάχιστον ας μην απέτρεπε άλλους από το μελετήσουν τα μαθηματικά, κι’ ας άφηνε τον φίλο του Πολύαινο να διδάξει τη γεωμετρία, αντί να τον ωθεί να τη ξεμάθει κι ο ίδιος.

 Πιο “δηκτικός” δε ο “ιερός Αυγουστίνος” (354-430), επτά  αιώνες αργότερα, θα γράψει: “Ο Επίκουρος μίλησε με τόση αυθάδεια για τη γεωμετρία επειδή, υποθέτω, τίποτε δεν καταλάβαινε απ’ αυτήν”….. και άλλα τέτοια πολλά. (Βλ. Χ. Θεοδωρίδης, σελ. 222-223). 

Αλλά και σύγχρονοι της εποχής μας ερευνητές, εκφράζουν αμφιβολίες, αν και κατά πόσο, όλοι οι Επικούρειοι είχαν κατανοήσει με καθαρότητα την έννοια της απόδειξης και της “αξιωματικής” μεθόδου στη γεωμετρία. Οι δυσκολίες των Επικούρειων, λένε οι ίδιοι, ήταν επακόλουθο είτε της απειρίας των περισσοτέρων απ’ αυτούς στα μαθηματικά αφού αυτά δεν αποτελούσαν αντικείμενο του κύκλου σπουδών και ενδιαφερόντων τους, είτε του “δογματισμού” τους να στηρίζουν μόνον τις δικές τους θεωρίες……

  Εδάφια διάφορα, όμως λένε - άλλοι - μελετητές, δεν συνηγορούν στη άποψη ότι ή έννοια του “ατομισμού” στον Επίκουρο επεκτείνονταν και στην γεωμετρία, ώστε η απόρριψη των “Στοιχείων” να θεωρείται εκ μέρους των ολική. Ο Πρόκλος αναφέρει ονομαστικά τον Ζήνωνα Σιδώνιο, ότι αποδέχονταν τις αρχές της γεωμετρίας, και ο καθηγητής Γρ. Βλαστός, συμφωνώντας, χαρακτηρίζει τη κριτική του Ζήνωνα “μεθοδολογική”, δεν την βλέπει ως μια συλλήβδην απόρριψη του κλασσικού μαθηματικού συστήματος, αλλά σαν προσπάθεια συμπλήρωσης μερικών λογικών κενών.

   Η ειδικευμένη στην ιστορία των αρχαίων μαθηματικών Serafina Cuomo (γεν. 1966) μας λέει ότι δεν συναθροίζονται επαρκείς αποδείξεις ότι οι Επικούρειοι απορρίπτουν τα μαθηματικά στην ολότητα τους. Οι Mau, Furley, Sedley και White διαφωνούν ότι η απόρριψη της γεωμετρίας ήταν ρεύμα κυρίαρχο στον Επικουρισμό, ως γενικά πιστεύονταν λόγω των αμφιβολιών και αντιρρήσεων που συστηματικά προέβαλαν οι Επικούρειοι.

   Ξεφεύγει των πλαισίων του άρθρου μας αυτού, περεταίρω αναφορά σε εκτενείς και διεξοδικές εργασίες μαθηματικών, που μετά από δυσκολονόητες αναλύσεις, διατυπώνουν διάφορες ερμηνείες και “χάνονται” μέσα σε διάφορες παραλλαγές και εκδοχές.

    Η πλέον πιθανή – ορθολογιστική άποψη, την οποία δέχονται οι μελετητές Mau, Furley, Sedley και White, σ’ αυτήν συγκλίνει και ο αρχαίος Πρόκλος, είναι ότι οι ενστάσεις των Επικούρειων διατυπώνονται πάνω στα αξιώματα και στις αρχές των “Στοιχείων” του Ευκλείδη, όπως και στη πληρότητα της λογικής των μαθηματικών του.  (Michael Aristidou: “The Epicurean Position on Mathematics”, p. 43-52)

12)  Ανακεφαλαίωση  &  Συμπεράσματα

   Στη βάση των αντιγνωμιών που εκφράστηκαν από τους Επικούρειους για τα μαθηματικά και τη μεθοδολογία τους, εμφιλοχωρεί η θεμελιώδης διαφορά της θεωρίας του ατόμου, και της γνωσιολογίας – Κανόνα των Επικουρείων, απέναντι στην  οντολογική θεωρία των τεσσάρων στοιχείων (ή πέντε για να υπάρχει αντιστοιχία και με τα 5 ιδεατά στερεά) σε συνδυασμό με τον Πλατωνικό ιδεαλισμό και την Αριστοτελική - φορμαλιστική Λογική…….  Διακρίνεται η διαφορά αντιλήψεως που διέπει τη φυσική-ρεαλιστική μέθοδο, που συνιστά μια επαγωγική διαδικασία έρευνας και τεκμηρίωσης, έναντι της αξιωματικής - απαγωγικής, όπως κατά κύριο λόγο είναι η μεθοδολογία του Ευκλείδη.

Ως προς τη γεωμετρία: Είναι δύσκολο να εξακριβωθεί σήμερα η ύπαρξη και το περιεχόμενο μιας πιθανής “Επικούρειας γεωμετρίας”, λόγω της έλλειψης και της ασάφειας των πηγών. Πάντως το να ασχολήθηκαν οι Επικούρειοι με την Ευκλείδεια γεωμετρία με σκοπό να διαψεύσουν την αλήθεια και τη χρησιμότητά της, είναι μάλλον απίθανο. Το πλέον  πιθανόν είναι οι Επικούρειοι να επεζήτησαν τη δημιουργία μιας ιδιόμορφης δομής γεωμετρίας – “φυσικής χώρου”, που ν’ αποσκοπούσε στη βελτίωση και κατοχύρωση των φιλοσοφικών απόψεων τους.    

   Ορισμένως, οι Επικούρειοι, περιορισθέντες σε γενικές - θεωρητικές παρατηρήσεις, δεν εκτίμησαν δεόντως τις χρήσιμες πρακτικές εφαρμογές που προκύπταν από τα μαθηματικά, ακόμα και από τα λεγόμενα καθαρά-αφηρημένα, οι οποίες εξαιρετικά αναπτυχθήκαν στη συνέχεια και σε πολλούς τομείς. Δεν κατενόησαν ότι όλα τα μαθηματικά, είτε βασίζονται στην εμπειρία είτε όχι, έμελλε να καταστούν χρήσιμα στην εξερεύνηση του σύμπαντος, αναγκαία σε όλες τις φυσικές επιστήμες. Αυτή η τοποθέτηση τους, βέβαια, οφείλεται σε σημαντικό βαθμό και στο χαμηλό επίπεδο ανάπτυξης των “εφαρμοσμένων” επιστημών, την εποχή εκείνη.  

Η χρησιμότητα αυτών, ασφαλώς, έγινε αργότερα κατανοητή, απόλυτα από το 17ο αι. και μετά, όταν διαπιστώθηκε ότι σχήματα, όπως οι κωνικές τομές, (ελλείψεις, παραβολές κλπ.), προσομοιάζουν με αυτές που υπάρχουν στη φύση…… αναφέρομαι στις τροχιές κίνησης των πλανητών και σ’ αυτές των βλημάτων… Μέχρι την εποχή του Κέπλερ και του Γαλιλαίου κανείς δεν είχε αποδείξει ποτέ ότι οι κωνικές τομές εμφανίζονται στα φυσικά φαινόμενα της κίνησης, και ότι σημαντικοί φυσικοί νόμοι της νευτώνειας και της σχετικιστικής φυσικής (παγκόσμιας έλξης - ισοδυναμίας μάζας-ενέργειας κλπ.), αργότερα και της κβαντομηχανικής, εκφράζονται με έως και απλές μαθηματικές σχέσεις, περιέχουσες και έννοιες που οι άνθρωποι εφηύραν μακράν όποιας πειραματικής εμπειρίας, όπως είναι αυτές των δυνάμεων των αριθμών κ.ά.

Μέχρι τον 19^ο αι., “finitistic  geometry”, θεωρίες αριθμών, συνόλων, του απείρου, της πληρότητας κλπ., ήταν ασφαλώς άγνωστες, ούτε επιβεβαιωμένη θεωρία συνέδεε Φυσική με Μαθηματικά… Έτσι, η εμμονή των Επικουρείων σε διακριτά μετρήσιμες ποσότητες ακόμα και στο κατώτερο, απειροελάχιστο επίπεδο, όπερ αντιστοιχεί στο σημειακό επίπεδο της γεωμετρίας, χωρίς αυτό με καμία αντιληπτική δυνατότητα να μπορεί να τεκμηριωθεί, θεωρήθηκε στην αρχαιότητα μη ρεαλιστική και έντονα επικρίθηκε…..     

 Όμως, οι κριτικές θέσεις Επικουρείων πάνω στο χαρακτήρα, τις βάσεις και τη δομή των μαθηματικών (της “ιδεατής” αριθμητικής και γεωμετρίας), καθώς και επί της μεθοδολογίας στον Ευκλείδη, δεν θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν στείρες ή απότοκες δογματικών ιδεοληψιών, διότι ήταν αποτέλεσμα φιλοσοφικών και μαθηματικών ερευνών, διατυπωμένων σε αξιόπιστα συγγράμματα τους, έγκυρες και κυρίως διορατικές. Άλλωστε έτσι περίπου διαλογίστηκαν και οι δημιουργοί των μη Ευκλείδειων γεωμετριών και άλλοι σύγχρονοι μαθηματικοί.   

Οι απορίες, διαφωνίες και συμπληρώσεις επί Ευκλείδειων θεωρημάτων, εκ μέρους ειδημόνων στα μαθηματικά ηγεμόνων του “Κήπου”, η διατύπωση προβληματισμών και η συγγραφή σχετικών βιβλίων, πιστοποιούν, όχι απλά την μη αποχή, αλλά την σε βάθος και κατ’ ουσίαν εισφορά των Επικουρείων στις σπουδές, έρευνες και εξελίξεις της εποχής τους.  

   Η άκρα επιμονή τους και σε “γεωμετρικό ατομισμό”, αξεχώριστο με τη φυσική ατομιστική θεωρία, είναι πλήρως δικαιωμένη στα νεότερα χρόνια, που είναι σύνηθες ο μαθηματικός να δημιουργεί μαθηματικές οντότητες με τη βοήθεια αυθαιρέτων συμβάσεων, κυρίως όμως που κάθε θεωρία στη φυσική αδιάρρηκτα συνδέεται με τη μαθηματική της υπόβαση. Έτσι, αποτελεί κοινό τόπο ότι και τα “φυσικά” συνδέονται με τα “μαθηματικά” “ελάχιστα”, και  ότι το πρόβλημα του “συνεχούς” αφορά αλληλένδετα τη δομή της ύλης με τον χώρο…. Υπάρχουν ακόμα πιο “προχωρημένες”, απόψεις, όπως ότι η ύλη τελικά δεν είναι παρά μια “μεταμφιεσμένη γεωμετρία”.

Η αμφισβήτηση Ευκλείδειων “αξιωμάτων” και η αναζήτηση νέων προϋποθέσεων και  προτάσεων, καταδείκνυε  όχι μόνο ότι το “μαθηματικώς αληθές” έχει απόλυτη σχέση με τα “αξιώματα” που έχουν γίνει δεκτά, άποψη που ήταν αποδεκτή ακόμα και τότε, αλλά θα μπορούσε να είχε διανοίξει τους νέους δρόμους στην επιστήμη πολύ νωρίς στην ιστορία, αν οι ιδέες αυτές,….. τότε “σαθρές επίνοιες” κατά τον Ποσειδώνιο, τώρα επιβεβαιωμένες με τις πιο σύγχρονες θεωρίες, των πιο ιδιοφυών επιστημόνων και εφαρμοσμένες στην πράξη,…… αντιμετωπίζονταν χωρίς λυσσαλέες αντιδράσεις!

Τελειώνοντας για τις θέσεις της Επικούρειας φιλοσοφίας απέναντι στα Μαθηματικά κατά την αρχαιότητα…… όσο και όπως, αυτό το μεγάλο θέμα μπορέσαμε να προσεγγίσουμε με τις μικρές μας δυνάμεις…… νομίζω ότι μας επιτρέπεται να ισχυριστούμε ότι:

Συγγράμματα όπως οι “Περὶ τῆς ἐν τῇ ἀτόμῳ γωνίας” του Επίκουρου, “Απορίες” του Πολύαινου, “Περί γεωμετρίας” και “Προς Πολυαίνου απορίας” του Δημητρίου Λάκωνα και αμφισβητήσεις Ευκλείδειων αξιωμάτων, όπως “της παραλληλίας”, ακόμα αντιρρήσεις επί της μεθοδολογίας και πληρότητας της γεωμετρίας, σαν αυτές Ζήνωνα του Σιδώνιου.….. καθόλου ατελέσφορες για την επιστήμη, αλλά ενορατικές, καινοτόμες και εποικοδομητικές, αξίζει να χαρακτηρισθούν.

Όσους δε φιλοσόφησαν πάνω σ’ αυτά τα ζητήματα, με τρόπους τόσο ριζοσπαστικούς για την εποχή τους, να κατατάξουμε στους θαρραλέους σκαπανείς των σύγχρονων θεωριών των αριθμών, των γεωμετριών και της φυσικής, που επιβεβαιώνουν άλλη μια φορά το γνωστό απόφθεγμα του Φρειδερίκου Νίτσε.         

ΤΕΛΟΣ   ΑΡΘΡΟΥ

Υ.Γ.  Από την πιο πάνω πραγματεία μου, αντλήθηκε και το κείμενο ομιλιών μου στις διαδικτυακές διαλέξεις των φίλων της Επικούρειας φιλοσοφίας: "Κήπος Αθηνών"  στις 10/12/2020,   και  "Κήπος  Θεσσαλονίκης" στις 14/12/2020.

---