Για τη σχέση της φιλοσοφίας με τα μαθηματικά

 

Για τη σχέση της  φιλοσοφίας με τα μαθηματικά

        Όλων των επί μέρους επιστημών θεμέλιο κι επιστέγασμα (μητέρα και θυγατέρα), εθεωρείτο η Φιλοσοφία, η «Γενική επιστήμη των Όντων, των Αρχών και των Αιτίων»…. Αυτή η αντίληψη ήταν γενικά αποδεκτή – σεβαστή, έως πριν την νεότερη εποχή!

       Στη σύγχρονη εποχή, μετά την μεγάλη ανάπτυξη και την αυτονόμηση επιμέρους κλάδων των επιστημών, ο καθαρά φιλοσοφικός στοχασμός - βρισκόμενος σε «παρακμή», με εξαίρεση κάποιες αναλαμπές - δεν παράγει πια νέες και καινοτόμες ιδέες……..

          Η Φιλοσοφία στηρίζεται και αναπτύσσεται στη Λογική, την επιστήμη που πρώτος μελέτησε και με θαυμαστή πληρότητα διατύπωσε τους θεμελιώδεις νόμους της, ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.). Ο Σταγειρίτης φιλόσοφος, κατέγραψε τους κανόνες λειτουργίας της διάνοιας, ώστε κάθε στοχασμός να πραγματοποιείται και να εκφέρεται ορθά, να καταλήγει δηλαδή σε αναντίρρητα σωστά συμπεράσματα.

           Τα Μαθηματικά είναι επιστήμη (αυτόνομος κλάδος) αλληλένδετη με τη Λογική προκειμένου να φθάσει σε λύσεις - συμπεράσματα, αλλά και με την Φιλοσοφία κατ’ επέκταση, αφού μέσα από μαθηματικούς τύπους και μαθηματικές σχέσεις επιχειρείται να διερευνηθούν - αποκαλυφθούν οι θεμελιώδεις νόμοι του «νοείν» και του «είναι» του κόσμου. Αυτός ο «δεσμός» των μαθηματικών με τη Λογική και με τη Φιλοσοφία είναι έργο της Ελληνικής διανόησης βασικά και αυτή η εξέλιξη ολοκληρώθηκε στην μετά τον Πλάτωνα εποχή, γιατί τα μαθηματικά του Πυθαγόρα (580-496 π.Χ.), όπως και η φιλοσοφική του σέχτα  (ο Πυθαγορισμός), βρίθουν μυστικιστικών - θρησκευτικών δογμάτων, Αιγυπτιακής προέλευσης, και ο Πλάτωνας αποδέχονταν και διατύπωνε στα έργα του τα μαθηματικά του Πυθαγόρα. 

        ΣΗΜ: ο όρος «μαθηματικά» (από τη λέξη «μανθάνω») με την σημερινή του έννοια καθιερώθηκε στα νεότερα αρχαία χρόνια. Στην αρχή μεταχειρίζονταν τους όρους αριθμητική, λογιστική και γεωμετρία…..

        Θαλής ο Μιλήσιος (624-546 π.Χ.) αναγνωρίζεται σαν ο πρώτος Έλληνας  μαθηματικός (και φιλόσοφος).  Μακρά σειρά Ελλήνων λαμπρών μαθηματικών ακολουθεί…… Πυθαγόρας, Ιπποκράτης ο Χίος, Εύδοξος ο Κνίδιος, Αρχύτας ο Ταραντίνος, Μέναιχμος, Αυτόλυκος ο Πιτταναίος, Ευκλείδης, Απολλώνιος, Αρχιμήδης, Ερατοσθένης, Ίππαρχος, Κλαύδιος Πτολεμαίος, Διόφαντος, Πάππος κ.ά…… Η γνώση Αριθμητικής, Γεωμετρίας, Αστρονομίας, Μουσικής ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για να φοιτήσει κάποιος σε φιλοσοφική σχολή. Επιγραφή στην είσοδο της Πλατωνικής Ακαδημίας προειδοποιούσε: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω»…. Παράδειγμα χαρακτηριστικό της στενότατης σχέσης Φιλοσοφίας και Μαθηματικών στο ανώτατο επίπεδο σκέψης, κατά την Ελληνική Αρχαιότητα, αποτελεί το πιο κάτω απόσπασμα από την «Πολιτεία» (βιβλίο Ζ΄, 8) του Πλάτωνα:

        «Αυτό που χρησιμοποιούν, είναι αναγκασμένες να προσφεύγουν σ’ αυτό, όλες οι τέχνες, οι επιστήμες, οι διάνοιες και που εγώ το ονομάζω με γενικό όνομα αριθμητική και λογιστική (τότε δεν υπήρχε ακόμα ο όρος «μαθηματικά», όπως έγραψα πιο πάνω…) έχει την ιδιότητα να ανυψώνει την ψυχή στη καθαρή νόηση και να την ελκύει προς την θεωρία του καθ’ εαυτό όντος……. ώστε αυτές οι δύο (η αριθμητική και η λογιστική) να οδηγούν εις την αλήθεια. Κατά τρόπο ανυπέρβλητο μάλιστα.... Και πρέπει με νόμο να θεσπίσουμε αυτό το μάθημα και να υποχρεώσουμε τους μέλλοντες να καθέξουν ανώτατα αξιώματα στην πολιτεία μας να επιδίδονται στην λογιστική, όχι επιπόλαια, αλλά μέχρι του βαθμού να είναι ικανοί δια της καθαρής νοήσεως να γνωρίζουν τη φύση και την ουσία των αριθμών, όχι για να την χρησιμοποιούν βέβαια όπως οι έμποροι και οι μεταπράτες στις δοσοληψίες τους, αλλά για να διευκολύνουν την ψυχή να μεταστραφεί από τα φθαρτά στην αλήθεια και την ουσία…»! 

       Η Αριστοτέλεια Λογική χρησιμοποιείται όχι μόνο κατά την διαδικασία επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, αφού, προκειμένου να φτάσουμε στην επίλυση τους απαραίτητα δημιουργούμε στην σκέψη μας μια συνεπή ακολουθία λογικών συλλογισμών, αλλά και από την αφετηρία της ίδιας της επιστήμης των μαθηματικών, όπου τίθενται  (αναπόδεικτα, ως αυτονόητες) οι θεμελιώδεις ιδέες, αρχές, προϋποθέσεις, τα λεγόμενα «αξιώματα» της.  

     Επίσης, σ’ ένα πλήθος περιπτώσεων ο μαθηματικός θα κληθεί στο τέλος μιας άσκησης  να κρίνει (με την δική του λογική) αν η λύση, ή οι λύσεις, ή ποια από πολλές ενδεχομένως λύσεις  που έχουν προκύψει, εναρμονίζεται προς την πραγματικότητα, ώστε να γίνει δεκτή μόνον αυτή και οι άλλες ν’ απορριφθούν. 

       Ο μαθηματικός διαλογισμός είναι είτε «παραγωγικός», όταν από ένα γενικό δεδομένο (από τις αρχές, τα αξιώματα κλπ.) συνάγεται κάποιο μερικό συμπέρασμα, είτε «επαγωγικός» όταν ακολουθείται η αντίστροφη πορεία, δηλ. από το μερικό να συμπεραίνεται το γενικό.   

       Πριν από τους Έλληνες, σοφοί Αιγύπτιοι (με ιερατική ιδιότητα) είχαν αποκτήσει τις πρώτες δυνατές γνώσεις γεωμετρίας και αριθμητικής για τις ανάγκες της οικονομίας, της γεωργίας και της αστρολογίας – αστρονομίας και προηγούμενα απ’ αυτούς Βαβυλώνιοι. Όμως αυτοί, τις κράταγαν καλά κλεισμένες σε ιερά ναών, προσιτές μόνον  σε κάποια ελίτ…..  

     Ο Πυθαγόρας πριν εγκατασταθεί και ιδρύσει την σχολή του στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας, είχε φοιτήσει για πάνω από σαράντα χρόνια (;) μέσα σε ναούς στις όχθες του Νείλου, στα ιερατεία της Μέμφιδας και Διόσπολης, όπου με προτροπή του Θαλή του Μιλήσιου (κι ο Θαλής εκεί σπούδασε) είχε μεταβεί για….. «ανώτερες σπουδές».…ακόμα και στην Βαβυλώνα λέγεται ότι είχε φθάσει, όταν αυτή υποδουλώθηκε στον Πέρση βασιλιά Καμβύση Β΄, το 525 π.Χ.

   Οι Εκαταίος και Αντικλείδης (συγγραφείς του 3ου π. Χ. αι.) αναφέρουν τον Πυθαγόρα ως τον εισηγητή της γεωμετρίας στην Ελλάδα από την Αίγυπτο, χώρα που θεωρούνταν ως η «πηγή» του οικουμενικού πολιτισμού.

       Ο Πλάτων (429-348 π.Χ.), του οποίου οι βιογράφοι διηγούνται ότι πριν ιδρύσει την «Ακαδημία» στην Αθήνα είχε πραγματοποιήσει ταξίδια στην Κυρήνη, την Ιταλία και την Αίγυπτο (A. E. Taylor “Πλάτων”, σελ.22) ήταν κι’ αυτός βαθιά επηρεασμένος από τον Αιγυπτιακό πολιτισμό.  Όπως δε μαρτυρεί ο Πλούταρχος, είχε την αντίληψη ότι «ο Θεός πάντα γεωμετρεί» - “ Πλάτων ἔλεγε, τόν θεόν ἀεί γεωμετρεῖν ”. 

       Ο Επίκουρος (341-270 π.Χ.) είχε την άποψη ότι:  “Τα μαθηματικά δεν βοηθούν στην απόκτηση της σοφίας”… ως των μαθημάτων (= μαθηματικών) μηδέν συνεργούντων προς σοφίας τελείωσιν……. (Σέξτος ο Εμπειρικός).  Ανάλογη θέση είχε και για την ποίηση, για τους μύθους (Ομήρου, Ησιόδου κ.ά.) και για  την μουσική ακόμα!....

     Η αρνητική όμως αυτή θέση του υλιστή φιλόσοφου Επίκουρου, που ήταν απόρροια του κύριου στόχου της φιλοσοφικής θεωρίας του (ανθρώπινη ευδαιμονία), δεν αφορά σίγουρα  τα «λογιστικά» μαθηματικά, τους υπολογισμούς δηλ. που απαραίτητα και καθημερινά χρησιμοποιούμε στις συναλλαγές και σε πλήθος άλλων περιπτώσεων, αλλά πρέπει να εκληφθεί σαν εναντίωση σε βασικές Πυθαγόρειες διδασκαλίες περί των αριθμών και της αστρολογίας που ήσαν περιβεβλημένες με σκοτεινές μεταφυσικές πεποιθήσεις, βαθιά θρησκευτικό-μυστικιστικές. Όπως π.χ. αυτές περί της «μαγείας των αριθμών», που έχουν - τάχα - απόκρυφες μορφοπλαστικές δυνάμεις και προοιωνίζουν την ανθρώπινη μοίρα, περί της «ουράνιας αρμονίας» και της υπό μελωδικών ήχων κίνησης των πλανητών και άλλες παρεπόμενες και συμπαρομαρτούσες «ιδεαλιστικές» απόψεις, όπως αυτές περί κατοίκησης των αθανάτων ψυχών στον γεωμετρικά τέλειο και αιώνια απαρασάλευτο «έναστρο ουρανό», περί μετεμψυχώσεων κλπ.

   Ο ίδιος ο Πυθαγόρας -μάλιστα- λογίζονταν θαυματοποιός («τερατοποιός»), με πολυάριθμες μετενσωματώσεις, ενώ είχε επιβάλλει και αυστηρούς κανόνες ζωής στους οπαδούς του, την «νέκρωση της σάρκας» κ.ά. παρόμοια  που ο Πλάτων μάλιστα ονομάζει… στροφή στο «πνευματικό»!

      Οι - έτσι κι’ αλλιώς - βέβαια επικριτές του Επικουρισμού, αφορμή έλαβαν πρόσθετα να  διαβάλουν τον ιδρυτή της «σχολής του Κήπου» διαδίδοντας ότι η «αποστροφή» του Επίκουρου προς τα μαθηματικά, προήρχετο επειδή ο ίδιος δεν τα κατανοούσε κι’ ως εκ τούτου ζήλευε τους Πλάτωνα και Αριστοτέλη, που ήσαν «ξεφτέρια»!

   Ωστόσο, αυτή, η αρνητική τοποθέτηση του Επίκουρου απέναντι στη «θεολογικο-ποιημένη» αριθμητική και γεωμετρία των Πυθαγόρα καθόλου δεν εμπόδισε ώστε ονομαστοί Επικούρειοι να καταγράφονται και ως εξαιρετικοί Μαθηματικοί. Ο Πολύαινος, ο Λαμψακηνός (340-285 π.Χ.), εκ των καθηγεμόνων (μαζί με τον Έρμαρχο και τον Μητρόδωρο) στη σχολή του, ήταν δυνατός μαθηματικός και φέρεται συγγραφέας μαθηματικού έργου ονομαζομένου "Aπoρίαι", παρ’ όλο - αν αληθεύει η σχετική πληροφορία - ο Επίκουρος τον είχε συμβουλεύσει να μετριάσει το ζήλο του σ’ αυτή την επιστήμη, κάτι που δεν κατάφερε.

      Επίσης, ο τέταρτος κατά σειρά μετά τον ιδρυτή του σχολάρχης του «Κήπου» (από το 180 – 150 π.Χ.), ο Βασιλείδης από την Τύρο της Φοινίκης, έχοντας κι’ ο ίδιος μεγάλη έφεση, δίδει και στη σχολή του «Κήπου» στροφή προς τα μαθηματικά, (ως προκύπτει από τα  χειρόγραφα του Ερκουλάνου της Ιταλίας),  η οποία συνεχίζεται και στον επόμενο (1ο π.Χ.) αιώνα, καθώς και οι, σ’ εκείνη την εποχή,  σχολάρχες του Κήπου, Ζήνων ο Σιδώνιος  και  Δημήτριος ο Λάκων, υπήρξαν κι’ αυτοί σπουδαίοι μαθηματικοί…..

           Στην Αλεξάνδρεια των Ελληνιστικών χρόνων με τους Πτολεμαίους, μαθηματικά και αστρονομία φθάνουν σε πραγματικά μεγάλη ακμή. «Φάρος» της Αλεξάνδρειας το Μουσείο και η Μεγάλη Βιβλιοθήκη της.….. Μετά δε τους Έλληνες, οι Άραβες είναι αυτοί που συνεχίζουν ν’  αναπτύσσουν τα μαθηματικά. Οι Αββασίδες χαλίφηδες αναδεικνύονται προστάτες τεχνών και επιστημών. Καύχημα της Βαγδάτης, της Πόλης της Ειρήνης (Μαντινάτ αλ Σαλάμ), ο «Οίκος της Σοφίας».  Διασημότερος όλων μαθηματικός (ακόμα αστρονόμος, ποιητής και λόγιος)  ο Πέρσης Ομάρ Καγιάμ (11^ος αι. μ.Χ.).

       Οι «Δυτικοί», μετά τα χρόνια του Μεσαίωνα τους, στην Αναγέννηση, «παραλαμβάνουν την σκυτάλη» της ανάπτυξης της ανθρώπινης γνώσης. Η πρόοδος των μαθηματικών μοιάζει με «χιονοστιβάδα», από τον 16ο αιώνα κι εφεξής, περιορισμένη βέβαια στις αναπτυγμένες χώρες της Ευρώπης……

        Καταγράφω μερικά από τα ονόματα-σταθμούς στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης (από την Αναγέννηση και μέχρι τον προ-περασμένο αιώνα)… Tartalia, Cardano, Napier, Fermat, Descartes, Newton, Leibniz, Pascal, Euler, Cauchy, Riemann, Gauss, Bool, Cantor,  Poincare, Hilbert..… 

        Όλη η εκπληκτική ανάπτυξη των Φυσικών-Θετικών-Κοινωνικών επιστημών, σ’ όλα τα χρόνια, θα βασισθεί στην εξέλιξη της Μαθηματικής επιστήμης, που καθίσταται όργανο νόησης και ανάπτυξης και όλων σχεδόν των λοιπών επιστημών. Οποιοσδήποτε μεγάλος φυσικός, βιολόγος, οικονομολόγος - ακόμα και πολιτικός, κοινωνιολόγος κλπ. σήμερα - είναι πρωτίστως μαθηματικός….. Τίποτα δεν αντιστέκεται στην μαθηματική επέλαση! Ακόμα, και το ότι κάτι δεν αποδεικνύεται, οφείλεται - ρητά - να αποδεικνύεται! Για να μην μείνει τίποτα αναπάντητο, δημιουργούνται ως και «φανταστικοί αριθμοί» συμπληρωματικά στους πραγματικούς.  

           Νέες θεωρίες, ως αυτή της «σχετικότητας», επιβάλλουν ανάγκη μεταβολής των αντιλήψεων μας για τον χώρο και τον χρόνο. Η απλή-τυπική Λογική πλέον δείχνει ανεπαρκής να εξυπηρετήσει τα σύγχρονα μαθηματικά. Κανείς δισταγμός! Ο τυπικός  «φορμαλισμός» θα συμπληρωθεί με την «ενόραση». Ως και οι παράλληλες ευθείες θα συναντηθούν σε σύγχρονες Γεωμετρίες, προκειμένου να διερευνηθεί το απέραντο σύμπαν και να εξηγηθούν φαινόμενα!  Από το πλην στο μηδέν και απ’ εκεί έως το άπειρο, όλος ο κόσμος οφείλει να υποταχθεί και να αποκαλύψει τα μυστικά του.

      Όμως, προκύπτει ένα πολύ μεγάλο φιλοσοφικό ερώτημα, μια θεμελιώδης  απορία,  που η μαθηματική επιστήμη «καταλείπει» στην Φυσική να εξιχνιάσει. Ο Albert  Einstein την συνόψισε ως εξής:  

      «Πως συμβαίνει ώστε τα μαθηματικά, τα οποία εν τέλει είναι προϊόν της ανθρώπινης σκέψης ανεξάρτητης από την εμπειρία, να προσαρμόζονται κατά τόσο θαυμάσιο τρόπο προς τα πραγματικά αντικείμενα;»

       Παρεπόμενη απορία, θα την έλεγα, της επίσης θεμελιώδους ερωτήσεως:  «Γιατί να υπάρχει κάτι (το σύμπαν) και όχι το τίποτα»;            

   Πως συμβαίνει, το παράδοξο, το Φυσικό χαοτικό σύμπαν να (φέρεται ότι) υπακούει στα Μαθηματικά;  δηλ. να είναι «έλλογο»;  Σε τι οφείλεται ώστε οι κανόνες που διέπουν ολόκληρη την δομή του φυσικού κόσμου να είναι κανόνες λογικοί, όπως αυτοί που διέπουν τους αριθμούς και τα σχήματα; 

     Πως συμβαίνει ώστε σταθερές ή μεταβλητές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων που αποτελούν το σύμπαν, να είναι σχέσεις παριστώμενες με μαθηματικά σύμβολα;

       Πόθεν η ομορφιά, η απλότητα και η «αρμονία» μαθηματικών σχέσεων όπως:

- Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Newton  (F = Gm1m2/R2),

- η ισοδυναμία μάζας - ενέργειας του Einstein  (E = mc²), 

- η ταυτότητα του Euler  (eiπ + 1 = 0),

- οι νόμοι της κίνησης των πλανητών του Kepler,  η τροχιά κίνησης των βλημάτων (που είναι “παραβολή”, μία από τις τρεις κωνικές τομές του Απολλωνίου, όπως άλλωστε και η “ελλειπτική” τροχιά του ήλιου) και τόσα άλλα «θαυμάσια»!  

         Από τους νεότερους στοχαστές: Ο Immanuel Kant (1724-1804)  διατύπωνε την ιδέα ότι «Τα Μαθηματικά προϋπάρχουν. Οι λογισμοί της Λογικής έρχονται να προσαρμοστούν σ’ αυτά!  Ο Albert Einstein  (1879-1955) ανάμεσα στο μεγάλο δίλημμα αν τα Μαθηματικά είναι «αυθύπαρκτα», ή είναι «ανθρώπινη εφεύρεση» τοποθετείτο στην «μέση» (σχολή Ιντελεκτουαλιστών). Εν μέρει, έλεγε, η Πραγματικότητα έχει στην ουσία της κάποια λογικότητα. Το «είναι», λοιπόν, δεν είναι απόλυτα «έλλογο». Τα Μαθηματικά είναι «μέσον» δια του οποίου το «διανοείσθαι»  δύναται να φθάσει εις το «ειδέναι»!

          Πρέπει να επισημάνουμε στο σημείο αυτό, ότι κατά το παρόν στάδιο ανάπτυξης των  επιστημών, υπάρχουν δύο  περιοχές του φυσικού κόσμου όπου η Μαθηματική δυσκολεύεται, ή αποτυγχάνει ν’ ανταποκρίνεται και να εξασφαλίζει μεθόδους επίλυσης προβλημάτων εναρμονισμένων στην πραγματικότητα. Αδυνατεί δηλ. πάντα να διατυπώνει εναργείς  μαθηματικούς  τύπους για την απεικόνιση των φαινομένων, όπως συμβαίνει επιτυχώς στις θεωρίες του Newton και του Einstein.  Και αυτές οι περιοχές είναι:

α) Οι περιοχές του «μικρόκοσμου», όπου κατά την κβαντική θεωρία ισχύει η «Αρχή της απροσδιοριστίας» του Heisenberg. Εκεί, οι παρατηρήσεις και τα πειράματα για θέσεις, ορμές, spin, ενέργειες  στοιχειωδών σωματιδίων σχηματίζουν ένα κόσμο «δυναμικοτήτων», ή «δυνατοτήτων», που απέχει από τον (γνωστό) κόσμο πραγμάτων και γεγονότων. Αυτός ο «μικρόκοσμος», μαθηματικά καταγράφεται με την βοήθεια κατανομής πιθανοτήτων.

β) Η Βιολογία. Κατά τον Jacques Monod (1910-1976), συγγραφέα του ονομαστού έργου: «Η Τύχη και η Αναγκαιότητα», στις διεργασίες που συντελεί η φύση στην σφαίρα των ζωντανών οργανισμών, στην γέννηση και εξέλιξη τους, κυριαρχεί ο «νόμος της τύχης». Τα έμβια όντα χαρακτηρίζονται από άλλης τάξεως ιδιότητες, όπως τελεονομία, αυτόνομη μορφογένεση, αναπαραγωγική αμετατροπία.  Το μυστήριο της ζωής, βαθιά κρυμμένο, δεν διατυπώνεται με μαθηματικές σχέσεις, αναλογίες, συναρτήσεις και σύμβολα…..

       Ο Friedrich Nietzsche (1844-1900) έλεγε ότι η πραγματική γνώση είναι κάτι πάρα πολύ ανθρώπινο (σχετικό και πεπερασμένο). Ο Ludwig Wittgenstein (1889-1951), ο συγγραφέας του “Tractatus Logico-Philosophicus” δεν πολυσκοτίζεται για  ό,τι (θεωρεί ότι) είναι  α-νοητό:  «Το νόημα του κόσμου, βρίσκεται έξω από τον κόσμο»…… Πλήθος διανοητών σε  ερωτήσεις όπως η πιο κάτω «σήκωναν τους ώμους τους»:

      Τελικά, θα φτάσουμε ποτέ ως την έσχατη, που να είναι και (κάπως έστω) καταληπτή, «αλήθεια»; Μήπως ματαιοπονούμε και οι προσπάθειες μας για την κατανόηση του κόσμου είναι «Σισύφειες»;  Κύριος οίδε !