Ο μαθηματικός L. Euler

 

Ο μαθηματικός L. Euler

και…… η θρυλούμενη “απόδειξη” του για την ύπαρξη του θεού!

Leonhard Euler (1707–1783)

      Ο Leonhard Euler (1707–1783) ήταν Ελβετός μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, γραφολόγος, γεωγράφος. Θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία και ο μεγαλύτερος του 18^ου αιώνα. Έκανε πρωτοποριακές και σημαντικές ανακαλύψεις σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, όπως η αναλυτική θεωρία αριθμών, η σύνθετη ανάλυση, ο απειροελάχιστος λογισμός, η τοπολογία, η θεωρία γραφημάτων κ.ά.  Είναι επίσης γνωστός για το έργο του στη μηχανική, την δυναμική των ρευστών, την οπτική, την αστρονομία και τη θεωρία της μουσικής.

      Ο Euler (Όιλερ, και ελληνικά Ευλήρος, όπως τον αποκαλούσε ο καθηγητής μου των μαθηματικών στο ΕΜΠ, Φίλων Βασιλείου) θεωρείται ο πιο παραγωγικός μαθηματικός της ιστορίας, που οι σύγχρονοι του αποκάλεσαν “Η ανάλυση ενσαρκωμένη”. Οι περισσότερες από 850 δημοσιεύσεις του συγκεντρώνονται σε 92 τόμους (στην φόρμα “quarto”).

      Την δε επιρροή του στα μαθηματικά εξέφρασαν ο  Pierre-Simon Laplace προτρέποντας: “Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous” (“Διαβάστε Euler, διαβάστε Euler, αυτός είναι ο κύριος όλων μας”) και ο Carl Friedrich Gauss παρατηρώντας: “Η μελέτη των έργων του Euler θα παραμείνει το καλύτερο σχολείο για τα διάφορα πεδία των μαθηματικών, και τίποτα άλλο δεν μπορεί να την αντικαταστήσει”.

      Μεταξύ των πολλών σπουδαίων θεωρημάτων που κατέδειξε ο Euler και τα παρακάτω:

-        Το λεγόμενο “πρόβλημα της Βασιλείας”, της Ελβετικής πόλης - πατρίδας του Euler (στο πανεπιστήμιο της οποίας γράφτηκε το 1720, σε ηλικία δεκατριών ετών. Μαθηματικά διδάχτηκε από τον Johann Bernoulli), ότι δηλ. το άθροισμα της άπειρης σειράς των τετράγωνων ακέραιων αντίστροφων ισούται ακριβώς με π ²/ 6.

-        Ο “τύπος του Euler”  (ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του), ο οποίος ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, και ο οποίος είναι: “e^ix  = cos x + i sin x ”.

-           Η “ταυτότητα του Euler”, μια ειδική περίπτωση του παραπάνω τύπου η οποία είναι:   “e^iπ + 1 = 0”……… H “ταυτότητα του Euler” χαρακτηρίστηκε “ο πιο αξιοσημείωτος μαθηματικός τύπος" από τον Richard P. Feynman (1918 – 1988, Αμερικανός θεωρητικός φυσικός, Νόμπελ Φυσικής 1965), για την ενιαία χρήση των εννοιών της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, της ύψωσης σε δύναμη και της ισότητας, και των ενιαίων χρήσεων των σημαντικών σταθερών 0, 1, e , i και π……  Το 1988, οι αναγνώστες του περιοδικού “Mathematical Intelligencer” την ψήφισαν ως «τον πιο όμορφο μαθηματικό τύπο που υπήρξε ποτέ». Στον Όιλερ αποδόθηκαν οι 3 από τους 5 κορυφαίους μαθημ. τύπους σ’ αυτή τη δημοσκόπηση.

-        -      Τον “αριθμό Euler”, δηλ. τη σταθερά e, την βάση του φυσικού λογάριθμου. Είναι δε αυτός το όριο:  (1 + 1/n ) ⁿ καθώς το n πλησιάζει το άπειρο. Το e ισούται περίπου με 2,71828.

       Ο Euler, επίσης, εισήγαγε μεγάλο μέρος της σύγχρονης μαθηματικής ορολογίας και σημειογραφίας, όπως:

Η καθιέρωση του ελληνικού γράμματος “π”, για να δηλωθεί η αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, ο συμβολισμός  “f(x)” για την τιμή μιας μαθηματικής συνάρτησης,  το γράμμα  “i” να εκφράζει τη (φανταστική) ρίζα του -1 {Είναι λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x ² + 1 = 0, και i ² = −1}, το ελληνικό κεφαλαίο γράμμα Σίγμα “Σ” για να εκφράσει αθροίσεις, το ελληνικό κεφαλαίο γράμμα Δέλτα “Δ” για πεπερασμένες διαφορές και τα πεζά γράμματα για να αναπαριστούν τις πλευρές ενός τριγώνου, ενώ τα κεφαλαία γράμματα τις γωνίες του.

      Το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του ο Euler πέρασε σε Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας (1727 – 1741 και 1766 – 1783, που πέθανε) και στο Βερολίνο (1741 – 1766), τότε πρωτεύουσα της Πρωσίας. Και στις δύο αυτές πόλεις ο Όιλερ κατέκτησε τις πιο υψηλές θέσεις και διακρίσεις, εργαζόμενος εντατικά, μέλος των επιστημονικών Ακαδημιών τους….. Ο Γάλλος φιλόσοφος Μαρκήσιος του Κοντορσέ (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet), στο εγκώμιο του στην Ακαδημία του Παρισιού έγραψε: «…… έπαψε να υπολογίζει και να ζει»….

 

Ο μύθος για τη “μαθηματική απόδειξη” του Euler….. περί υπάρξεως θεού!

(“The Euler-Diderot Anecdote”)

      Υπάρχει ένας διάσημος μύθος, εμπνευσμένος από τα επιχειρήματα του μαθηματικού L. Euler, απέναντι σε φιλοσόφους, για τη θρησκεία. O μύθος, υποτίθεται, διαδραματίζεται κατά την διάρκεια της δεύτερης θητείας του L. Euler στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης, όταν, μετά από πρόσκληση της τσαρίνας Μεγάλης Αικατερίνης, επισκέπτης στη Ρωσία ήταν και ο επιφανής Γάλλος φιλόσοφος Ντενί Ντιντερό (Denis Diderot).

      Ο επιφανής φιλόλογος, φιλόσοφος και συγγραφέας Denis Diderot (1713 -1784), ήταν εμπνευστής και ηγέτης της επικής προσπάθειας συγγραφής της «Εγκυκλοπαίδειας» από το 1746 μέχρι το 1780. Σε όλα τα έργα του διέδιδε το πνεύμα του διαφωτισμού, άθεος και υλιστής ο ίδιος, ενάντια στη δεισιδαιμονία και τη θρησκοληψία. Μαζί με τον Βολταίρο και τον Ρουσσώ θεωρείται ένας από τους σημαντικότερους Γάλλους συγγραφείς του 18ου αιώνα. Τα μυθιστορήματά του διαβάζονται ακόμα και τον 21ο αιώνα. Έγραψε ακόμα θεατρικά έργα και κριτικές εργασίες…..

      Ωστόσο, η αυτοκράτειρα της Ρωσίας είχε θορυβηθεί που τα επιχειρήματα του Γάλλου φιλοσόφου για τον αθεϊσμό επηρέαζαν μέλη της αυλής της. Έτσι κλήθηκε ο Όιλερ, που υπήρξε  θρησκευόμενος στη ζωή του,  να τον αντιμετωπίσει. Ο Ντιντερό ενημερώθηκε ότι ένας σοβαρός Ελβετός μαθηματικός κατείχε μια απόδειξη περί της υπάρξεως  Θεού και δέχτηκε να δει την απόδειξη, ως αυτή να παρουσιαζόταν σε δικαστήριο. Ο Όιλερ εμφανίστηκε, προχώρησε προς τον Ντιντερό, και με σοβαρότητα και απόλυτη σιγουριά του έκανε αυτή την ασυνάρτητη -  ανακόλουθη αγγελία:

  «Κύριε,  “a + bⁿ / n = x”......  Συνεπώς υπάρχει θεός..... Αποκριθείτε».

      Ο Ντιντερό, για τον οποίον -λέει η ιστορία- στα μαθηματικά ήταν εντελώς αδαής, στάθηκε άναυδος, καθώς ξέσπασαν γέλια στην αίθουσα. Κεραυνοβολημένος, ζήτησε να φύγει από τη Ρωσία, ένα αίτημα που έγινε ευγενικά δεκτό……..

      Αυτό το ανέκδοτο μπορεί να είναι διασκεδαστικό όμως σε αυτό οφείλεται το ότι στη συνέχεια ο Ντιντερό έκανε μελέτες στα μαθηματικά. Ο μύθος ειπώθηκε για πρώτη φορά, και με σημαντικά διακοσμητικά στοιχεία, από τον Βρετανό μαθηματικό και επιστήμονα της λογικής Augustus De Morgan, στο κλασσικό βιβλίο του “Budget of Paradoxes (To τσουβάλι με τα παράδοξα)”. Brown, B.H. (Μάιος 1942). «The Euler-Diderot Anecdote». American Mathematical Monthly 49 (5).

 

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ:  “Quinque viæ”

     Quinque viæ (Λατινικά σημαίνει:  "Πέντε δρόμοι ή τρόποι"), μερικές φορές αποκαλείται "πέντε αποδείξεις", είναι πέντε λογικά επιχειρήματα για την ύπαρξη του Θεού που συνοψίζονται από τον καθολικό φιλόσοφο και θεολόγο του 13ου αιώνα Άγιο Θωμά τον Ακινάτη στο βιβλίο του: “Summa Theologica” (Περίληψη της Θεολογίας). Αναλύσεις των θέσεων αυτών βρίσκονται και στο άλλο μεγάλο του έργο: “Summa Contra Gentiles” (Σύνοψις κατά των Εθνικών)…..

Θωμάς ο Ακινάτης (Thomas Aquinas, 1225 – 1274), ο εκπρόσωπος του “σχολαστικισμού” ο οποίος άσκησε μακράν τη μεγαλύτερη επιρροή κατά τον μεσαίωνα, συρράπτοντας τη Χριστιανική θεολογία με την Αριστοτελική φιλοσοφία (και με κάποιες αποκλίσεις προς την Πλατωνική φιλοσοφία), προσπάθησε να υποστηρίξει την πίστη με την λογική, με το να επεξηγεί τα μυστήρια της Εκκλησίας με μεθόδους των (φυσικών) επιστημών. Παρ’ όλο που πίστευε ότι η ύπαρξη του Θεού είναι αυτονόητη από μόνη της, διερεύνησε με λεπτομέρεια πέντε επιχειρήματα για την ύπαρξη του, ευρέως γνωστά ως “Πέντε δρόμοι (τρόποι – αποδείξεις)” (“quinque viae”)…..

      Πρόκειται για πέντε τρόπους (επιχειρήματα) που ο Ακινάτης επινόησε για να αποδείξει την ύπαρξη του Θεού, μέσω της φύσης και της Αριστοτέλειας λογικής. Αυτά είναι:

1^ο) Το επιχείρημα του ακινήτου κινούντος

2^ο) Το επιχείρημα της πρώτης αιτίας (ή της καθολικής αιτιότητας)

3^ο) Το επιχείρημα του ενδεχόμενου (ή απροσδόκητου)

4^ο) Το επιχείρημα του βαθμού τελειότητας

5^ο) το επιχείρημα του τελικού αιτίου ή των άκρων ("τελολογικό επιχείρημα").

            Θεμέλιο της όλης επιχειρηματολογίας του Ακινάτη για την ύπαρξη του Υψίστου αποτελεί το Αριστοτελικό (ακίνητο) πρώτο κινούν (και η τελεολογία του Σταγειρίτη), από το οποίον θεωρεί ότι εκπορεύεται η  άπειρη αλυσίδα αιτιών κάθε κίνησης. Έτσι, ο Ακινάτης, αναγόμενος από αιτίου εις αίτιον καταλήγει στο πρώτο αίτιο άνευ ποιούντος αιτίου, δηλ. στο Θεό!

ΣΗΜ: Προφανώς κανένα από τα πιο πάνω επιχειρήματα του Θωμά Ακινάτη δεν έπεισαν τον επίμονα άπιστο Γάλλο φιλόσοφο Denis Diderot!