Η αξία των Μαθηματικών στην Πλατωνική φιλοσοφία.

 

Η αξία των Μαθηματικών στην Πλατωνική φιλοσοφία.

Ο Πλάτων όπως απεικονίζεται στη νωπογραφία του Ραφαήλ

 "Η Σχολή των Αθηνών" (Βατικανό)

“Ακαδημία” ονομάσθηκε η φιλοσοφική σχολή που ίδρυσε, γύρω στο 387, ο Πλάτων (427-347) και όσο ζούσε δίδασκε και διηύθυνε.

     Στην Ακαδημία γίνονταν παραδόσεις σχετικές με θέματα γνωσιολογίας, οντολογίας, μαθηματικών, αστρονομίας, κοσμολογίας, ηθικής, περί ψυχής και άλλων μεταφυσικών ιδεών, ενώ ο Αριστοτέλης, που υπήρξε μαθητής της για μεγάλο χρονικό διάστημα, κάνει λόγο και για διδασκαλία “άγραφων δογμάτων”. Από τους κύριους στόχους της Ακαδημίας ήταν η εκπαίδευση πολιτικών ανδρών.  

     Οι πιο πάνω διδασκαλίες ήταν, ασφαλώς, σύμφωνες με την φιλοσοφία, όπως την γνωρίζουμε, από τα έργα που κατέλειπε ο Πλάτωνας. 

     Η διδασκαλία εκεί ήταν δωρεάν, σε αντίθεση με αυτές των σοφιστών, ωστόσο, οι μαθητές έπρεπε εξ ιδίων να φροντίζουν τον εαυτό τους και ως εκ τούτου προέρχονταν -κυρίως- από εύπορες οικογένειες.

 

      Η Ακαδημία υπήρξε κέντρο μαθηματικής έρευνας. Εκεί συνέρρεαν οι ικανότεροι μαθηματικοί, απ’ όλα τα μέρη. Της αναγνωρίζεται τεράστια συνεισφορά στη διάδοση και προαγωγή της γεωμετρίας, στη μεθοδολογία της και στην “αξιωματικοποίση” της.

Πάντως, η πληροφορία από συγγραφείς της ύστερης αρχαιότητας ότι στην Ακαδημία του Πλάτωνα υπήρχε επιγραφή: “ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ”, ελέγχεται ως αναληθής.

 Επίσης, δεν ήταν όλοι οι μαθηματικοί - μαθητές του Πλάτωνα και θιασώτες της διδασκαλίας του. Παράδειγμα ο Εύδοξος ο Κνίδιος (407-335), ο σημαντικότερος από τους μαθηματικούς και αστρονόμους της εποχής του, θεωρούμενος εφάμιλλος του Αρχιμήδη.  

Ο Εύδοξος ο Κνίδιος στη Φυσική δεχόταν την περί του Νου θεωρία του Αναξαγόρα (500-428), στην Ηθική δε τις δοξασίες του μαθητή του Σωκράτη και ιδρυτή της Κυρηναϊκής (Ηδονιστικής) Σχολής Αρίστιππου (435 – 355). 

 Ας σημειώσουμε εδώ ότι και ο Αριστοτέλης (Στάγειρα 384 - Χαλκίδα 322), μαθητής της Ακαδημίας επί 20 χρόνια (367 - 347) που εξελίχτηκε σε εξ ίσου με τον δάσκαλο του σημαντικός φιλόσοφος, υπήρξε έντονα επικριτικός απέναντι στην περί «Ιδεών» θεωρία του Πλάτωνα, την   βασικότατη (και στυλοβάτη) της όλης διδασκαλίας του.

  

     Το μεγάλο βάρος που ο Πλάτωνας έδινε στην επιστήμη των Μαθηματικών, βρίσκεται στο ότι την θεωρούσε απαραίτητη για να φθάσει κανείς στην γνώση, “ την αλήθεια ή το αγαθόν”,  μέσω όμως της δικής του  μεθόδου “Διαλεκτικής”.

      “Διαλεκτική”, όπως λέει η ίδια η λέξη, δεν είναι άλλο παρά μια συζήτηση συνήθως  διαφορετικών απόψεων. Όμως, στους διαλόγους του Πλάτωνα, με τον τρόπο, ικανότητα και επιτηδειότητα του, έφθανε ίσαμε την παραδοχή της δικής του απόψεως και την αποκάλυψη της (κατ’ αυτόν)  αληθείας.

 

Ο Αριστοτέλης, στα “Μετά τα Φυσικά”, αφού γράφει (Α 992a28-29) ότι:  «Όλως δε ζητούσης της σοφίας περί το φανερόν το αίτιον….», παρακάτω (Α 992a37- 992b1) παρατηρεί ότι:  «….. αλλά γέγονε τα μαθήματα τοις νυν η φιλοσοφία, φασκόντων των άλλων χάριν αυτά δειν πραγματεύεσθαι».

 

Δηλ. «Γενικώς ειπείν, μολονότι η φιλοσοφία ζητεί να μάθει τας αιτίας των φαινομένων….….τουναντίον, δια τους σημερινούς φιλοσόφους, (αναφέρεται στους Πλατωνικούς), φιλοσοφία είναι τα μαθηματικά, μολονότι, λέγουν, ότι πρέπει να ασχολούμεθα με αυτά χάριν των άλλων επιστημών». 

 

Εκείνη την εποχή δεν υπήρχε ενιαία μαθηματική επιστήμη με την σημερινή έννοια, ούτε  ο όρος «μαθηματικά». Ως τέτοια (υπό την γενική ονομασία «μαθήματα») εννοούντο ξεχωριστά οι κλάδοι της Αριθμητικής - Γεωμετρίας -  Στερεομετρίας (ως μελέτες των ιδιοτήτων των αριθμών, των επιπέδων σχημάτων και των όγκων αντίστοιχα), η Λογιστική που αναφέρονταν στους λογαριασμούς, η Αστρονομία, η Αρμονία.

 

Στο κεφάλαιο αυτό αναζητούμε την θέση που είχαν τα Μαθηματικά στο φιλοσοφικό σύστημα του Πλάτωνα, μέσα από τα ίδια του τα συγγράμματα. 

Και το 7ο (Ζ΄) βιβλίο της «Πολιτείας» (πιστεύεται ότι συμπληρώθηκε μεταξύ του 380 και 370) αποτελεί την ακριβέστερη πηγή μας. Εκεί, λοιπόν, ο Πλάτων γράφει:

 

 "Οι προορισμένοι, από την τάξη των φυλάκων να ανυψωθούν σ’ αυτήν των αρχόντων, θα πρέπει να τύχουν ειδικής εκπαιδεύσεως, που θα συμπληρώνει την παιδεία που έτυχαν ως φύλακες". 

Και αυτή η πρόσθετη – ειδική εκπαίδευση τους δεν είναι άλλη από τα μαθηματικά….

   Το εκπαιδευτικό σύστημα του Πλάτωνα περιγράφεται στο 2ο και 3ο βιβλίο, και για την τάξη των φυλάκων συνίσταται σε Μουσική και Γυμναστική.

 

  Πίστευε, ο Πλάτων, ότι η σπουδή των πιο πάνω μαθημάτων θα κατευθύνει τις ψυχές αυτών που προορίσται να αναλάβουν τα μέγιστα αξιώματα προς την θέα και την μελέτη του “αγαθού”, το οποίον αόρατον και όντως ον, αποδεικνύει και ορίζει η “Διαλεκτική”.

Η “Διαλεκτική” είναι η επιστέγαση (ο θριγκός) και το συμπλήρωμα των άλλων επιστημών, η μόνη πραγματική επιστήμη, «….ώσπερ θριγκός τοις μαθήμασιν  η διαλεκτική ημίν επάνω κείσθαι, και ουκετ’ άλλο τούτου μάθημα ανωτέρω ορθώς αν επιτίθεσθαι….»  («Πολιτεία» βιβλίο Ζ΄,535e)

 

Για το “αγαθόν” («Πολιτεία» βιβλ. ΣΤ, 509 b) ο Πλάτων είχε πει:  «Ουκ ουσίας όντος του αγαθού, αλλ’ έτι επέκεινα της ουσίας πρεσβεία και δυνάμει υπερέχοντος».

 Δηλ. «Το αγαθόν δεν είναι ουσία, αλλά κάτι πολύ ανώτερο ως προς την τάξη και δύναμη».      

 

              Χαρακτηριστικό είναι το πιο κάτω εδάφιο («Πολιτεία» βιβλίο Ζ΄,8–525c):

              “……Ολόκληρη η αριθμητική και η λογιστική ασχολείται με τον αριθμό, ώστε τα μαθήματα αυτά φαίνεται πως οδηγούν στην αλήθεια. Κατά τρόπο ανυπέρβλητο μάλιστα..... Και πρέπει με νόμο να θεσπίσουμε αυτό το μάθημα, και να υποχρεώσουμε τους μέλλοντες να καθέξουν ανώτατα αξιώματα στην πολιτεία να επιδίδονται στην λογιστική.

           Και μάλιστα να την μελετήσουν όχι επιπόλαια, αλλά μέχρι του βαθμού να είναι ικανοί να αντικρύσουν, δια της καθαράς νοήσεως, την ίδια τη φύση των αριθμών και να την σπουδάσουν όχι για να την χρησιμοποιούν βέβαια όπως οι έμποροι και οι μεταπράτες στις δοσοληψίες τους, αλλά για να την εφαρμόσουν στον πόλεμο και στην  διευκόλυνση της ψυχής στο να μεταστραφεί από την γένεση (τα φθαρτά πράγματα) στην αλήθεια και την ουσία…..”.

Ο Πλάτων διακρίνει ως ανεξάρτητες επιστήμες την Αριθμητική (που ασχολείται με το διακριτό - οι αριθμοί)  από την Γεωμετρία (που ασχολείται με το συνεχές – τα μεγέθη τα επ’ άπειρον διαιρετά).  Τονίζουμε, ο Πλάτων χρησιμοποιεί τα μαθηματικά, ως εργαλείο σκέψης για τη Διαλεκτική, την όλη  φιλοσοφία του εν γένει.

Και γι’ αυτόν τα μαθηματικά όντα δεν είναι αισθητά, αλλά ιδεατά, και έχουν τέλειες - ιδεατές ιδιότητες (φ. ε. ένας αισθητός κύκλος δεν είναι παρά μια απομίμηση του ιδεατού κύκλου).  

 

  Το, Πυθαγορο-Πλατωνικής εμπνεύσεως, όραμα της ιδανικής τελειότητας των αριθμών και των σχημάτων, συναφώς και της “Ουράνιας Αρμονίας”, η ανθρωπότητα το έχει πληρώσει πολύ ακριβά.

   Η κίνηση των πλανητών “κατά τέλειους κύκλους” (το «Πτολεμαϊκό αστρολογικό  σύστημα»), υπήρξε το τελευταίο “οχυρό” αυτής της προκατάληψης, που πεισματικά αντιστέκονταν ως τις αρχές του 17ου αι. Τότε εκκωφαντικά καταρρίφθηκε από  τον «νομοθέτη του σύμπαντος» Γιοχάνες Κέπλερ, βασισμένου στις παρατηρήσεις  του Τύχο Μπράχε, πάνω στις κινήσεις των πλανητών.....

 

    Διότι, πολλές διαφορετικές αντιλήψεις, στην πορεία του χρόνου,  οι ιδεαλιστές είχαν υποχρεωθεί να παραδεχτούν ως σωστές ή πιθανές, εκτός από το να μην περιστρέφονται τα “θεϊκά” ουράνια σώματα σε τέλεια κυκλική τροχιά. Έτσι, όταν  ο  Κέπλερ ξέφυγε από το κοσμικό μοντέλο των 5 ιδεατών στερεών, που περιγράφει στο “Mysterium Cosmographicum” (1596) και έφθασε στο “Astronomia Nova  ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΤΟΣ” (1609) η ανθρωπότητα είχε - ουσιαστικά -  κάνει ένα άλμα δυο χιλιετηρίδων!

 Το (τερατώδες) κοσμικό μοντέλο των 5 ιδεατών στερεών στο “Mysterium Cosmographicum” του Κέπλερ, είχε πηγήν εμπνεύσεως την Πλατωνική αντίληψη ότι οι βασικές αλήθειες της φύσης αποκαλύπτονταν στις σχέσεις μεταξύ των κανονικών γεωμετρικών σχημάτων, όπως και στις σχέσεις μεταξύ αριθμών (κατά την Πυθαγόρεια παράδοση).

 

  Την ίδια ακριβώς εποχή (1610) συνέπεσε και η δημοσιοποίηση από τον Γαλιλαίο μιας περιγραφής του σύμπαντος, όπως αυτό είχε φανεί μέσα από το τηλεσκόπιο του. Έτσι, Γαλιλαίος και Κέπλερ έστειλαν στο χρονοντούλαπο της ιστορίας της φυσικής, δια μιας και οριστικά, και το λεγόμενο «Αριστοτελικό μοντέλο» του (γεωκεντρικού) σύμπαντος.

   Η, από τον Εμπεδοκλή, θεωρία των «4 στερεών σωμάτων» θα διατηρηθεί σε ισχύ άλλους δύο αιώνες, δηλ. ως τις αρχές του 19ου αι., ότε εργασίες του Τζων Ντάλτον ξαναφέρνουν στο προσκήνιο την (σύγχρονη) ατομική θεωρία.

 Η «Αιτιοκρατία» στα φυσικά φαινόμενα θα αντέξει ως τις ημέρες μας, όμως μετά το 1927,  με την  Κβαντομηχανική, στον μικρόκοσμο  εγκαταστάθηκε η στατιστική πιθανολογία αντί αυτής. 

Ως απαρχή της σύγχρονης επιστήμης οι φυσικοί τοποθετούν στο έτος 1543, χρονιά που εκδόθηκαν δύο σημαντικά βιβλία:

α) Νικολάου Κοπέρνικου: «Περί των περιφορών των ουράνιων σφαιρών, βιβλία 6 / De Revolutionibus Orbium Coelestium Libri VI».

β) Ανδρέα Βεσάλιου: «Περί της δομής του ανθρώπινου σώματος βιβλία 7 / De humani corporis fabrica libri septem».

 

      Την πρωτοποριακή και μεγάλη συμβολή της Επικούρειας φιλοσοφίας (Γνωσιολογία, Φυσική, Ηθική) στις σύγχρονες επιστήμες αναδεικνύουμε σε άλλα κεφάλαια του παρόντος άρθρου ("ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΥΡΕΙΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ"), καθώς και σε άλλα άρθρα μας ("Αιτιοκρατία", "Θεωρίες της Επικούρειας φιλοσοφίας - πρόδρομοι σύγχρονων θεωριών της Φυσικής" κ.ά.).  

Η μέθοδος του Πλάτωνα στα Μαθηματικά περιγράφεται αυτά να ξεκινούν από “Πρώτες αρχές” τις Υποθέσεις (δηλ. αναπόδεικτες προτάσεις θεωρούμενες εγνωσμένα αληθείς) και να οδηγούνται με λογική συνέπεια σ’ αυτό που έβαλαν σκοπό να αποδείξουν (το “όπερ έδει δείξαι”), διαγράφοντας -προφανώς- μια πορεία κυκλική, αφού αφετηρία και τερματισμός συμπίπτουν. Η μέθοδος αυτή στα μαθηματικά καλείται (είναι) «Απαγωγική».

Ο ίδιος ο Πλάτωνας δεν υπήρξε ενεργός μαθηματικός, παρουσιάζεται ωστόσο ως “επιστάτης” ή “αρχιτέκτων” των μαθηματικών. Πραγματικά, όλοι σχεδόν οι γνωστοί μαθηματικοί του 4ου π.Χ. αι. εμφανίζονται να συνδέονται στενά μαζί του, καθώς και με τη σχολή του, την Ακαδημία.

Και ο Επικούρειος φιλόσοφος Φιλόδημος (Ηράκλειον Κάτω Ιταλίας, 1ος αι. π.Χ.) στην Ιστορία της Ακαδημίας γράφει για την μεγάλη ανάπτυξη των μαθηματικών την εποχή του Πλάτωνα, με τον ίδιο «αρχιτεκτονούντα και προβλήματα δίδοντα» (σε μαθηματικούς), οι οποίοι με προθυμία τα ερευνούσαν».  

Τα Μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, προχωρούν μόνον καθοδικά (κατά την «απαγωγική μέθοδο»), δηλ. από τις υποθέσεις (πρώτες αρχές) προς το τέλος. Αυτές, οι πρώτες αρχές, είναι μεν αυταπόδεικτες (δεν χρήζουν άλλης επιβεβαίωσης), αλλά αυτό ισχύει μόνον για τους μαθηματικούς.

Ο φιλόσοφος - και μόνον αυτός - ορίζει ότι αυτές οι αρχές των μαθηματικών είναι ισχυρισμοί που δεν έχουν υποβληθεί σε εξέταση, και η αλήθεια των οποίων πρέπει να δειχθεί. Αυτό συνιστά ένα μη θεραπεύσιμο μειονέκτημα των Μαθηματικών, που ούτε η Διαλεκτική μπορεί να θεραπεύσει!

Έτσι, κατά τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά, που, ως ομολογεί, οδηγούν από τα φθαρτά (την γένεση) στην αλήθεια και την ουσία, από μόνα τους αδυνατούν να παράσχουν τέλεια γνώση, δίδουν μόνο υποθετική γνώση.

Πιο σωστά, μόνον αν αναγκάζουν την ψυχή να ατενίζει την ουσία είναι κατάλληλο μάθημα, αν αναγκάζουν την ψυχή να θεάται την γένεση δεν είναι κατάλληλο μάθημα. («Πολιτεία» βιβλίο Ζ΄,9, 527e).

Μόνον η Διαλεκτική προχωρά στην “ανυπόθετη (πρώτη) αρχή” και επιτυγχάνει να φτάσει στην τέλεια γνώση («Πολιτεία» Ζ’ 533c1-8).

Στις “υποθέσεις” των μαθηματικών, από τις οποίες αυτά δεν γίνεται να ξεφύγουν, ο Πλάτων αντιτάσσει την “Ανυπόθετο αρχή”, την ανώτατη στην ιεραρχία των ειδών Ιδέα, που δεν ξεχωρίζει καθόλου εύκολα (αν δεν ταυτίζεται απολύτως) από την Ιδέα του Αγαθού, του Όντος κλπ. και που άλλοι φιλόσοφοι ονομάζουν Νου, Φύση, Θεό κ.ά., ή περνώντας στη μεταφυσική (θρησκείες) αποκτά διάφορες ονομασίες όπως τα πρόσωπα….

Η “ανυπόθετος αρχή”, είναι η αιτία της δημιουργίας και κινήσεως του κόσμου όλου, καθώς  και η αιτία υπάρξεως όλων των άλλων Ιδεών…..

Οι “Ιδέες” (ή “Είδη”), ως γνωστόν, στον Πλάτωνα αποτελούν το βασικότερο σημείο της φιλοσοφίας του. Συνιστούν τα αρχέτυπα όλων των ορατών πραγματικοτήτων, τα οποία  ορατά πράγματα, δεν είναι άλλο παρά οι αντανακλάσεις αντίστοιχων Ιδεών…..

Η “Ανυπόθετος αρχή”, είναι αυταπόδεικτη (δεν μπορεί να αμφισβητηθεί) και έρχεται στη νόηση «εξαίφνης», ως αποκάλυψη! Βλ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ μας πιο κάτω με χωρίο από την Ζ΄ επιστολή του.

Ανάλογες απόψεις με τις πιο πάνω συναντάμε στους περισσότερους ιδεαλιστές φιλοσόφους πριν και μετά τον Πλάτωνα, και στον Αριστοτέλη. Στον Πλάτωνα βέβαια είναι πιο πλατιά και καθαρά διατυπωμένες….   

  

Τα Μαθηματικά, λοιπόν, κατά την αντίληψη του ιδρυτή  της σχολής της Ακαδημίας, αξίζουν ως  προπαιδεία για την Φιλοσοφία, επομένως είναι κατώτερα αυτής. Συνιστούν πάντως μια ουσιώδη προεισαγωγή στη Διαλεκτική.

Τα Μαθηματικά αξιώματα πηγάζουν από τη Διαλεκτική  και αποτελούν μια καλή εκπαίδευση στην αφηρημένη νόηση και ένα καλό μέσο για την ανύψωση του πνεύματος στον κόσμο των Ιδεών. («Πολιτεία» Ζ΄ 521 - 527).

Ο Πλάτων, σχετίζοντας την (αληθινή) γνώση με το αμετάβλητο, το αέναο, τα τέλεια αντικείμενα και σχήματα, δεν ενδιαφέρετε για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, είτε για τις φυσικές επιστήμες. Η μαθηματική του  θεώρηση δεν συσχετιζόταν με την εμπειρική παρατήρηση.

«Κανένα πράγμα από τα αισθητά δεν περιέχει επιστήμη» («Πολιτεία» Ζ’ 10, 529e). Οι δε τέχνες, δεν αποτελούν πρότυπο για τη γνώση, έχουν θέση κατάταξης κατώτερη.

Την Αστρονομία ο Πλάτων έβλεπε ως μέσον «δια το κατιδείν ράον την του Αγαθού Ιδέαν», και παραβλέποντας κάθε πρακτική ωφελιμότητα της, προέτρεπε τους αστρονόμους να μην ασχολούνται με τις παρατηρούμενες (φυσικές) κινήσεις των αστεριών, αλλά με τις “ιδεατές”, διότι δεν περιμένουμε να βρούμε την “αλήθεια” σ’ αυτές! («Πολιτεία» Ζ΄ 529d).

Ο Ησίοδος (8ος αι. π.Χ.) στο διδακτικό του έπος «Έργα και Ημέραι» εκθείασε την  αστρονομία, δίδοντας χρήσιμες συμβουλές στους αγρότες και στους ναυτικούς, με βάση τις κινήσεις των αστέρων και των αστερισμών κατά εποχές. Με αντιλήψεις σαν τις Πλατωνικές η αστρονομία κατάντησε αστρολογία και έμεινε τέτοια για τους επομένους του Ησίοδου 25 αι.! Ακόμα και οι παμμέγιστοι Τ. Μπράχε και Γ. Κέπλερ (17ος αι. μ.Χ.) έβγαζαν τα προς το ζην φτιάχνοντας «Ωροσκόπια»!    

Μέσα σ’ αυτό το “Πλατωνικό κλίμα” δεν ευνοείται, και δεν έγινε, δυστυχώς, ανάπτυξη άλλων τομέων της μαθηματικής επιστήμης, όπως π.χ. σε τομείς συνδεόμενους με τις κατασκευές και την οικονομία. Κατέκρινε τους μαθηματικούς που χρησιμοποιούσαν “μηχανικές κατασκευές”. Μόνον ευθείες γραμμές και κύκλοι ήταν αποδεκτά…….

Ακόμα, οι κωνικές τομές (έλλειψη – υπερβολή- παραβολή), που ο Απολλώνιος (περ 260-200 π.Χ.) εφηύρε, συμπληρώνοντας την Ευκλείδεια γεωμετρία, είναι “μηχανικές καμπύλες” (δηλ. μη κατασκευάσιμες με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη), παρ’ όλο που με τα όργανα αυτά εύκολα κατασκευάζουμε όσα σημεία (πεπερασμένου πλήθους) θέλουμε, που να ανήκουν σ’ αυτές τις καμπύλες.      

Όλες, γενικά, οι κατασκευές με άλλα όργανα…. για κάποιο μυστικό λόγο, γνωστό μόνο στον “θεό γεωμέτρη”! θεωρήθηκαν χυδαίες και απαράδεκτες. Και οι Πλατωνικές αυτές ιδέες, λόγω της υψηλής επήρειας που διέθεταν, έχουν μεγάλο μερίδιο ευθύνης για το εντυπωσιακά χαμηλό επίπεδο της τεχνολογίας στην αρχαιότητα.…..

Ο  Πλάτων υπήρξε ο φιλόσοφος που όσο κανείς άλλος επηρέασε τα πεπρωμένα της ανθρωπότητας…..με τον Αριστοτέλη να ακολουθεί “κατά βραχείαν κεφαλή”!

Σ’ αυτό το σημείο, οφείλουμε μια μνεία-έπαινο για τους προγόνους μας μηχανικούς,  που με τις επινοήσεις και τον μόχθο τους,  δημιούργησαν θαυμαστές κατασκευές, πολύτιμες στη πρόοδο των κοινωνιών.  

Από αυτούς, δηλ.  τους εφευρέτες - μηχανικούς της αρχαιότητας, ας αναφερθούν οι πιο ονομαστοί: Αρχιμήδης ο Συρακούσιος, Κτησίβιος ο Αλεξανδρεύς, Φίλων ο Βυζάντιος και Ήρων ο Αλεξανδρεύς.  

Την αποτίμηση του Πλάτωνα για τα Μαθηματικά μπορούμε να κατανοήσουμε καλλίτερα, αν τα Μαθηματικά τα τοποθετήσουμε στο σχήμα, όπου ο Πλάτων περιγράφει την πορεία της γνώσης από τα αισθητά (τα ορώμενα) πράγματα προς τα ιδεατά (τα νοούμενα).

Ουσιαστικά, αυτό το σχήμα συνιστά την γνωστική – μυητική λειτουργία της Διαλεκτικής του.

Σ’ αυτή τη σχηματοποίηση, και από κάτω προς τα πάνω πηγαίνοντας, ο Πλάτων διακρίνει 4 στάδια:

1^ο) Εικόνες,

2^ο) Ορατά,

3^ο) Γενικές έννοιες, και

4^ο) Καθαρός λόγος  με αποκορύφωση την “Ιδέα του Αγαθού”.  

Στον κόσμο των ορωμένων ανήκουν τα δύο πρώτα στάδια, στον κόσμο των νοουμένων τα δύο τελευταία.

Σε κάθε ένα από τα πιο πάνω 4 στάδια ο Πλάτωνας αντιστοιχεί 4 βαθμίδες γνώσης, οι οποίες είναι κατά (την πιο πάνω) σειρά:

1^ο) Εικασία,  

2^ο) Πίστη,  

3^ο) Διάνοια,  

4^ο) Νόηση ή Επιστήμη.

Οι δύο πρώτες βαθμίδες συνιστούν “Δόξα”, οι δυο ανώτερες “Νόηση”.

        ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στην Ζ΄ (7η) επιστολή του ο Πλάτωνας μας παρουσιάζει μια ενδιαφέρουσα θεωρία για το πώς στον άνθρωπο που διαθέτει μια ξεχωριστή θεϊκή φύση και έναν άξιο οδηγό, μετά την εξαντλητική ανοδική πορεία του απ’ όλα τα στάδια της γνώσης, και αφού έχει φτάσει στην ανώτατη βαθμίδα της, θα του αποκαλυφθεί η υπέρτατη “γνώση (ή αλήθεια)”….. «όπως το πυρ ξεπηδά και άξαφνα ανάβει φως μέσα στην ψυχή του….».

        Γράφει λοιπόν ο Πλάτων ότι για την αληθινή γνώση, αυτήν που «ἀληθῶς ἐστιν ὄν», δεν μπορεί να γίνει λόγος «…..διότι δεν εκφράζεται με λόγια σαν τα άλλα μαθήματα, αλλά σαν αποτέλεσμα της αδιάκοπης επεξεργασίας του θέματος και επικοινωνία με αυτό, όπως το πυρ ξεπηδά και άξαφνα ανάβει φως μέσα στην ψυχή και τρέφει το ίδιο τον εαυτό του».

         «…… ῥητὸν γὰρ οὐδαμῶς ἐστιν ὡς ἄλλα μαθήματα, ἀλλ᾽ ἐκ πολλῆς συνουσίας γιγνομένης περὶ τὸ πρᾶγμα αὐτὸ καὶ τοῦ συζῆν ἐξαίφνης, οἷον ἀπὸ πυρὸς πηδήσαντος ἐξαφθὲν φῶς, ἐν τῇ ψυχῇ γενόμενον αὐτὸ ἑαυτὸ ἤδη τρέφει»

       Όσον αφορά δε τον ίδιο λέει, ως έχει διακηρύξει, για τα σπουδαιότερα θέματα δεν έγραψε και δεν θα γράψει ποτέ, γιατί αυτά δεν υπάρχει τρόπος να διατυπωθούνε.

        Σε άλλο σημείο, ο Πλάτων  θεωρεί πως την αλήθεια λίγοι έχουν την δυνατότητα να την βρούνε μόνοι τους, με μικρή βοήθεια. Από τους υπόλοιπους, άλλοι γεμίζουν τον εαυτό τους  με αδικαιολόγητη και λαθεμένη ικανοποίηση, και άλλοι με φαντασμένη και κούφια ελπίδα, πως έχουν τάχα μάθει κάτι σπουδαίο.

      Πιστεύει ακόμα ο Πλάτων ότι η φλόγα της αληθείας για να αναπηδήσει (αποκαλυφθεί)  χρειάζεται μια ξεχωριστή θεϊκή φύση και ένας άξιος οδηγός ο οποίος να δείχνει στο μαθητή τον δρόμο ως το τελικό στάδιο της μύησης, οπότε ο μαθητής μπορεί πια να πορευτεί δίχως τη βοήθεια του  ("Πλάτωνος Ζ’ επιστολή»).

 

Φανερό, ότι στην 1η βαθμίδα γνώσης (εικασία) ανήκουν οι “σκιές (εικόνες)” του “μύθου του σπηλαίου”, ενώ η 2η βαθμίδα (πίστη) αντιστοιχεί στη γνώση των ιδίων των αισθητών πραγμάτων (όχι των σκιών τους).

Στην 3η βαθμίδα (διάνοια) η γνώση περνά στον κόσμο των νοουμένων (νοητό), όμως δεν έχει ακόμα απαλλαγεί από αυτόν των ορωμένων (ορατό).

Στην 4η βέβαια και τελευταία βαθμίδα γνώσης (νόηση / επιστήμη) όλα έχουν ξεκαθαρίσει…… και η ψυχή μας έχει οδηγηθεί και μεταστραφεί «επί την του όντος θέαν ή περί το εν μάθησις» ! («Πολιτεία» Ζ΄ 525 Ε). 

Ο Πλάτων, άρα, τοποθετεί τα Μαθηματικά στην 3^η βαθμίδα γνώσης («διάνοια»), και είναι διφυή, αφού  μετέχουν και της δόξης και της νόησης.

       Και ο Αριστοτέλης ρητά επιβεβαιώνει την πιο πάνω διαπίστωση (για την θέση των μαθηματικών στο Πλατωνικό σύστημα των Ιδεών) γράφοντας:

 «Έτι δε παρά τα αισθητά και τα είδη τα μαθηματικά των πραγμάτων είναι φησί μεταξύ, διαφέροντα των μεν αισθητών τω αΐδια και ακίνητα είναι, των δε ειδών τω τα μεν πόλλ’ άττα όμοια είναι το δε είδος αυτό εν έκαστον μόνον»… (Μετά τα Φυσικά, 987b,16-21)

Σε μετάφραση μας:

«Ακόμα, (ο Πλάτων) είπε ότι: Στο αναμεταξύ (δηλ. στο μεταίχμιο) των αισθητών και των Ειδών (Ιδεών) ευρίσκονται τα μαθηματικά αντικείμενα.  Διαφέρουν δε, από μεν τα αισθητά στο ότι αυτά (δηλ. τα μαθηματικά αντικείμενα) είναι αιώνια και ακίνητα, από δε τα Είδη (τις Ιδέες) στο ότι υπάρχουν πολλά όμοια (μαθηματικά αντικείμενα), ενώ το κάθε Είδος (η κάθε Ιδέα) είναι ένα (μία) μόνον».

Ασφαλώς, δεν μπορούν τα Μαθηματικά να τοποθετηθούν υψηλότερα, δηλ. στην 4^η τελευταία βαθμίδα γνώσης (Νόηση/Επιστήμη) της Πλατωνικής ιεράρχησης, αφού η έρευνα τους ξεκινά από υποθέσεις οι οποίες δεν ανάγονται στην “αρχή”, το “έν”, το “αγαθό”, αλλά προς ένα συμπέρασμα στο τέλος (“επί τελευτήν”), το οποίον δεν μπορεί να βγει ψηλότερα από τις υποθέσεις που τέθηκαν!

  

Έτσι, για πολλούς ερευνητές, επηρεασμένους από τέτοιες αντιλήψεις, τα Μαθηματικά έγιναν ένα “τρελό παιχνίδι”, που όφειλε να παιχτεί σύμφωνα με τους (τυπικούς) κανόνες που έθεσε η διάνοια του ιδρυτή της Ακαδημίας. Όμως, η αντίληψη αυτή κράτησε, για δυο χιλιετίες, υπανάπτυκτη την όλη τεχνική (εφαρμοσμένη) πρόοδο των επιστημών.

Αρκεί μόνο να αναφερθεί ότι 2 χιλιετίες (για την ακρίβεια: 1985 έτη) χωρίζουν τον θάνατο του Πλάτωνα από τη δημοσίευση της Αναλυτικής Γεωμετρίας του Καρτέσιου, η οποία ουσιαστικά απάλλαξε τη Γεωμετρία από τον “Πλατωνικό σιδηροκορσέ” της! (E. T. BELL “Οι Μαθηματικοί”, σελ. 40).        

Συμπερασματικά:

Τα Μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, αποτελούν “άσκηση” και “θεραπαινίδα” της φιλοσοφίας του. Ωστόσο, κάτω από σοβαρές μετεξελίξεις* στην πορεία του χρόνου, συλλήβδην όλη η φιλοσοφία: Πλατωνική, Αριστοτελική, Στωική, νέο-Πυθαγόρεια, πλην -βεβαίως- της Επικούρειας, δεν θα αργήσει να καταστεί “θεραπαινίδα” της θεολογίας, η οποία θεολογία, πανηγυρικά, στον Μεσαίωνα, θα αναγορευθεί ως η  “κορυφαία” των επιστημών.  

 * Οι αντινομίες και τα αδιέξοδα, στα οποία οδηγούσαν οι Παρμενιδο-Πλατωνικές αντιλήψεις, όπως για το ακίνητο και αμετάβλητο Όν, για το μη Όν, για την ύπαρξη δύο απόλυτα ξέχωρων κόσμων (του Νοητού των Ιδεών και του ορατού των αισθητών) κ.ά., ήδη φάνηκαν, αναγνωρίστηκαν, καταγράφηκαν ακόμα και από τον ίδιο τον Πλάτωνα στα ώριμα–τελευταία έργα του: «Παρμενίδης», «Θεαίτητος», «Σοφιστής», «Πολιτικός» και «Φίληβος».

Στα έργα αυτά - προδρομικά της Αριστοτελικής λογικής, ασκείται κριτική των Πλατωνικών Ιδεών  από τον ίδιο τον Πλάτωνα, μάλιστα με το ίδιο το όπλο του, την Διαλεκτική!    

Και αυτή, η εξόχως δυσμενής εξέλιξη της πορείας της ανθρώπινης σκέψης, θα κρατήσει σε ομηρία και στασιμότητα την ανθρωπότητα για σχεδόν 20 αιώνες……

 Σύμφωνα με τον B. Farrington: “Όταν η σύγχρονη επιστήμη εμφανίστηκε τον 16^ο αι. ξεκίνησε απ’ εκεί που την είχαν αφήσει οι Έλληνες….. Οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι βρισκόντουσαν στο κατώφλι του σύγχρονου κόσμου. Γιατί δεν άνοιξαν την πόρτα;”  

               O δε Α. Whitehead παρατηρεί ότι το 1.500 η Ευρώπη γνώριζε λιγότερα, απ’ όσα ο Αρχιμήδης που πέθανε 212 π.Χ. (Α. Καίσλερ: «Οι υπνοβάτες», σελ. 83).

 

    Και ας μη μας διαφεύγει ότι ο Αρχιμήδης, ο μέγας μαθηματικός, φυσικός και εφευρέτης, προλαβαίνοντας τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς κατά σχεδόν 2.000 χρόνια, είχε (σχεδόν) επινοήσει τον Ολοκληρωτικό Λογισμό, που συνιστά την μετεξέλιξη της “μεθόδου της εξάντλησης”, την οποίαν ο Αρχιμήδης εφάρμοζε στην εύρεση εμβαδών. Επίσης, σε ένα από τα προβλήματα του, προέβλεψε την μεθοδολογία του Διαφορικού Λογισμού…..

     Ο Α. Whitehead μαζί με τον Β. Russel είναι συγγραφείς των μοντέρνων “Principia Mathematica”, ένα τρίτομο μνημειώδες έργο στο χώρο της Μαθηματικής Λογικής. Εκεί, τα Μαθηματικά αναφέρονται ως η ωριμότητα της Λογικής, η οποία Λογική, γενικά, είναι η ουσία της φιλοσοφίας…

      Συμπληρωματικά - ανακεφαλαιωτικά  στο κεφάλαιο αυτό της πραγματείας μας, ας αναφερθούμε και σε μερικά χωρία που σταχυολογήσαμε από το έργο του A. E. Taylor, Βρεττανού ιδεαλιστή φιλοσόφου, από τους πιο βαθείς γνώστες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, πάνω βέβαια στις κυριότερες Πλατωνικές αντιλήψεις περί της μαθηματικής επιστήμης:

      «Προϋποτίθεται ως πασίγνωστο, οι μαθηματικές επιστήμες μελετούν ιδανικά σχήματα. Τα αντικείμενα που γνωρίζουμε με τα μαθηματικά είναι “Είδη”, αν και ο μαθηματικός μας οδηγεί σ’ αυτά ξεκινώντας από τα αισθητά “διαγράμματα”, που χρησιμοποιεί για να βοηθήσει τη φαντασία μας.

      Ο γεωμέτρης, ή ο θεωρητικός των αριθμών, βασίζει ολόκληρη τη συλλογιστική του σε ορισμένα “αξιώματα” (“υποθέσεις”) για τα οποία “δεν παρέχει εξήγηση” (“λόγον”). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν δεν μπορούν να χαρακτηριστούν “γνώση”, εφ’ όσον παραμένουν ανεξέταστες οι παραδοχές από τις οποίες παράγονται.  

      Προκύπτει, λοιπόν, η δυνατότητα και η ανάγκη μιας ανώτερης και αυστηρότερης επιστήμης της “Διαλεκτικής”.

           Η μέθοδος των μαθηματικών, για  να εξηγηθεί, κρίνεται και αντιπαραβάλλεται με την “Διαλεκτική”, διότι το επιστημονικό ιδεώδες υλοποιείται αποκλειστικά με την δεύτερη».

     Έτσι, πέραν από τις αναγνωρισμένες μαθηματικές σπουδές, υπάρχει μία ακόμα ανώτερη επιστήμη, η “Διαλεκτική”, που ο ρόλος της είναι να οδηγεί άμεσα στη θέαση του “Καλού (ή αγαθού)” αυτού».

     Η ανάγκη, να (δημιουργηθεί ως μεθοδολογία και να) τεθεί η “Διαλεκτική” ως κορωνίδα όλων των άλλων επιστημών (“μαθημάτων”) ενδέχεται να είναι απόρροια της “απόδειξης” του “διαλεκτικού” Ζήνωνα ότι τα αξιώματα της μαθηματικής επιστήμης, όπως την ασκούσαν ως τότε οι Πυθαγόρειοι, είναι αντιφατικά, που υπήρξε το συγκλονιστικότερο επιστημονικό γεγονός του 5ου αι.

     Για να διασωθεί η μαθηματική επιστήμη από τα επιχειρήματα του Ζήνωνα , ολόκληρο το σύστημα χρειάστηκε αναδιάρθρωση, η οποία πραγματοποιήθηκε τον 4ο αι. και βρίσκεται στα “Στοιχεία του Ευκλείδη”. Η αναθεώρηση των παραδεδεγμένων μαθηματικών αρχών, είναι τελείως βέβαιο, αποτέλεσε ένα από τα κύρια προβλήματα που απασχόλησαν την Πλατωνική σχολή, ενώ οι αναμορφωτές (Εύδοξος, Θεαίτητος κ.ά.) υπήρξαν, απ’ όσο ξέρουμε, σύντροφοι του Πλάτωνα στην Ακαδημία.       

 

      Για κάθε “καθολικό” κατηγόρημα, που μπορεί να βεβαιωθεί ότι ανταποκρίνεται σε διάφορα λογικά υποκείμενα, υπάρχει μια αντίστοιχη “Ιδέα”. Μια συγκεκριμένη υπέρτατη “Ιδέα”, το “Καλό (ή αγαθό)” ή “Είδος του Καλού”, κατέχοντας την ανώτερη θέση μεταξύ των Ιδεών, αποτελεί το ύψιστο αντικείμενο μελέτης του φιλοσόφου.

       “Η Ιδέα του Καλού”, για τα αντικείμενα της γνώσης και την ίδια τη γνώση, είναι ό,τι ο ήλιος για τα ορατά αντικείμενα και την όραση.  Ο Σωκράτης στους Πλατωνικούς διαλόγους αδυνατεί να περιγράψει το αγαθό” αυτό, το οποίον χωρίς να είναι ούτε “αληθής υπόσταση” (“αλήθεια”) ούτε “ουσία” το ίδιο, βρίσκεται πέραν και από τα δύο, αποτελώντας την πηγή της υπόστασης και της ουσίας κάθε πράγματος.         

(A. E. Taylor: “ΠΛΑΤΩΝ”, σελ. 334-344, διάσπαρτα)

             Υ. Γ.    

          Το πιο πάνω άρθρο μας αποτελεί, αναπόσπαστα, το 4ο κεφάλαιο της μεγαλύτερης πραγματείας μας υπό τον τίτλο: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΕΠΙΚΟΥΡΕΙΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ», δημοσιευμένης στο μπλογκ (11/12/2020), η οποία απαρτίζεται από τα εξής  κεφάλαια:

1)            Εισαγωγή

2)            Ο Επίκουρος και τα Μαθηματικά

3)            Ο Πυθαγόρας

4)            Ο Πλάτωνας και η Ακαδημία

5)            Ο Ευκλείδης

6)            Από την Φυσική του Επίκουρου

7)            Επικούρειοι – Μαθηματικοί

7.1)  Ο Πολύαινος

7.2) 2ος και 1ος  αι. π.Χ.

7.3) Δημήτριος ο Λάκωνας

7.4)  Ζήνωνας ο Σιδώνιος

7.5) Ο Βόηθος

8)            Θέσεις του Αριστοτέλη

9)            Προβληματισμοί περί την “εις άπειρον διαιρετότητα του συνεχούς”

10)         Σύγχρονες μαθηματικές θεωρίες

1η) Η “Απόλυτη Γεωμετρία”

2η)  Η “Θεωρία των αλγεβρικών αριθμών”

3η) Η “Υπόθεση του συνεχούς”

4η) Η “Θεωρία της μη πληρότητας”

5η)  Η “Αρχή της Διαψευσιμότητας”

6)  Το φιλοσοφικό συμπέρασμα του Born

11)         “Επί τον τύπον των ήλων”

12)         Ανακεφαλαίωση  &  Συμπεράσματα